حل المعادلات النسبية – رياضيات ثاني ثانوي الفصل الثاني

حل المعادلات النسبية: تُسمى المعادلة التي تحتوي على عبارة نسبية أو أكثر معادلة نسبية، ويكون حل هذه المعادلة عادةً أسهل عندما تتخلص من المقامات، وذلك بضرب طرفي المعادلة في LCM لها. ومن الممكن الحصول على حلول دخيلة عند ضرب طرفي المعادلة النسبية في LCM للمقامات؛ لذا فإنه من الضروري التحقق من صحة الحل لاستثناء القيم التي تجعل أحد مقامات المعادلة صفرًا.

مثال 1

حل معادلة نسبية

حُلّ المعادلة: 2xx + 5 − x² − x − 10x² + 8x + 15 = 3x + 3

LCM للمقامات هو (x + 3)(x + 5) لأن x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).

(x + 3)(x + 5)(2x)x + 5 − (x + 3)(x + 5)(x² − x − 10)x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)3x + 3 اضرب المعادلة في LCM للمقامات
(x + 3)¹(x + 5)(2x)¹x + 5 − ¹(x + 3)¹(x + 5)(x² − x − 10)¹x² + 8x + 15 = ¹(x + 3)(x + 5)3¹x + 3 اختصر العوامل المشتركة
(x + 3)(2x) − (x² − x − 10) = 3(x + 5) بسّط
2x² + 6x − x² + x + 10 = 3x + 15 خاصية التوزيع
x² + 7x + 10 = 3x + 15 بسّط
x² + 4x − 5 = 0 اطرح 3x + 15 من كلا الطرفين
(x + 5)(x − 1) = 0 حلّل إلى عوامل
x + 5 = 0 أو x − 1 = 0 خاصية الضرب الصفري

تحقَّق:

اختبر x = −5: التعويض يجعل المقام x + 5 = 0:

2(−5)0 − 25 + 5 − 1025 − 40 + 15 ≠ −32 ✗ قسمة على صفر — حل دخيل

اختبر x = 1:

26 − −1024 = 824 + 1024 = 1824 = 34 و 31 + 3 = 34 ✓

إذا نتج عن تعويض أحد الحلول صفر في أحد مقامات المعادلة، وجب استثناء هذا الحل. وبما أن x = −5 ينتج عن تعويضها صفر في المقام فإنها تُستثنى من الحلول؛ لذا يكون الحل هو x = 1.

1️⃣ الخطة: حلّل المقامات، أوجد LCM، اضرب الطرفين فيه فتختفي المقامات

2️⃣ حلّ المعادلة الناتجة (خطية أو تربيعية بالتحليل وخاصية الضرب الصفري)

3️⃣ تحقَّق دائمًا: أي حل يجعل مقامًا صفرًا هو حل دخيل ويُستثنى — وقد تكون المعادلة بلا حل