درس 3

العلاقة بين الدالة و مشتقتها (النظرية الأساسية للتكامل و التفاضل)

ما العلاقة بين الدالة $f(x)$ والدالة الأصلية $F(x)$ ؟ الفكرة الجوهرية: المساحة المتراكمة تحت منحنى $f(x)$ من نقطة ثابتة حتى $x$ هي بالضبط قيمة $F(x)$ . هذه العلاقة هي جوهر النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل.

نظرية

النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل

إذا كانت

F(x)

هي الدالة الأصلية لـ

f(x)

، أي أن

F'(x) = f(x)

، فإن:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

أي أن المساحة تحت منحنى

f(x)

من

a

إلى

b

تساوي الفرق بين قيمتَي الدالة الأصلية عند الطرفين.

فهم

كيف ترتبط المساحة بالدالة الأصلية؟

الدالة المساحية $A(x)$ : عرّف

A(x)

كمجموع المساحة تحت

f(x)

من 0 حتى

x

.

A(x) = \int_0^x f(t)\,dt

كلما تحرّكنا يميناً، تزداد المساحة — وبالتالي تزداد

A(x)

.

المساحة = فرق الدالة الأصلية: المساحة بين

a

و

b

لا تحتاج إلى مجاميع ريمان — يكفي أن نحسب:

F(b) - F(a)

الفرق بين قيمتَي

F

عند الطرفين يعطينا المساحة مباشرةً.

مثال

تطبيق النظرية الأساسية

أوجد المساحة تحت

f(x) = x^2

من 1 إلى 3.

F(x) = \frac{x^3}{3}

\int_1^3 x^2\,dx = F(3) - F(1) = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}

1️⃣ الدالة الأصلية

F(x)

تقيس المساحة المتراكمة تحت

f(x)

— قيمتها تنمو كلما اتسعت المساحة

2️⃣

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

— لا حاجة لمجاميع ريمان، يكفي تقييم

F

عند الطرفين

3️⃣ التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان:

F'(x) = f(x)

4️⃣ ثابت التكامل

C

يختفي عند حساب التكامل المحدود لأن

F(b)-F(a)

يُلغيه

✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل

1 / 3

إذا كانت F(x) هي الدالة الأصلية لـ f(x)، فما قيمة المساحة المظلّلة بين a وb؟

الدرس التالي

الاتجاهات في التكامل

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

قاعدة القوة Power Rule الاتجاهات في التكامل