درس 1

مفهوم التكامل الأساسي

✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

مفهوم التكامل — المساحة تحت المنحنى

1 / 3
03xyالمساحة = ?
تمثّل المنطقة المظلّلة في الرسم مساحةً تحت منحنى f(x) من 0 إلى 3. ماذا يعبّر عنها الرمز التالي؟
∫₀³ f(x) dx

الشرح

التكامل هو أحد أعمدة حساب التفاضل والتكامل. الفكرة الجوهرية: إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى دالة والمحور السيني. نبدأ بتقريب هذه المساحة بمستطيلات — وهو ما يُعرف بـ مجاميع ريمان — ثم نأخذ النهاية عندما يصير عرض المستطيلات صفراً فنحصل على التكامل المحدود بدقة تامة.

تعريف
التكامل المحدود — المساحة تحت المنحنى
x y a b f(x)
التكامل المحدود للدالة f(x) من a إلى b هو مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى والمحور السيني.
\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = المساحة
مفهوم
مجاميع ريمان — التقريب بالمستطيلات
n = 4
تقريب خشن: نقسّم الفترة [a, b] إلى n أجزاء متساوية، ونرسم مستطيلاً فوق كل جزء. كلما قلّ عدد المستطيلات، زاد الخطأ.
n = 10 → ∞
التقريب يتحسّن: كلما زاد عدد المستطيلات n، اقتربت المساحة الإجمالية من القيمة الحقيقية للتكامل.
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x
مثال:
0 2 x² المساحة
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين f(x) = x^2 والمحور السيني من 0 إلى 2
\[\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \mathbf{\dfrac{8}{3}}\]
1️⃣ التكامل = مجموع مساحات مستطيلات لا نهائية العدد تحت المنحنى
2️⃣ مجاميع ريمان هي التقريب — التكامل هو النهاية عندما n \to \infty
3️⃣ الرمز \int f(x)\,dx يعني "جمع" قيم f(x) على طول الفترة
4️⃣ إذا كان f(x) أسفل المحور السيني، فالمساحة سالبة

الدرس التالي

قاعدة القوة Power Rule

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

التالي
قاعدة القوة Power Rule