طول المماس وجزأي القاطع

طول المماس وجزأي القاطع

إذا رُسم من نقطة J خارج الدائرة مماس يلامس الدائرة عند K، وقاطع يقطع الدائرة عند L (الأقرب) و M (الأبعد)، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب القاطع كاملًا في جزئه الخارجي.

(JK)² = JL × JM

المقارنة مع نظرية قطع الوتر (داخل الدائرة)

في كلتا الحالتين، نضرب طولًا في طول لنحصل على ناتج ثابت يميّز موقع النقطة بالنسبة للدائرة. الفرق في موقع النقطة وفي أطراف الضرب:

• عندما تكون نقطة التقاطع داخل الدائرة: نضرب جزأي كل وتر، والمساواة بين وترين.
• عندما تكون النقطة خارج الدائرة: نضرب القاطع كاملًا في جزئه الخارجي، ويُستبدل أحد الوترين بمماس، فيصبح طوله مربعًا (لأن جزأيه يتطابقان عند نقطة التماس).

لماذا؟

المثلثان △JKL و △JMK متشابهان (الزاوية عند J مشتركة، والزاوية المماسية ∠JKL تساوي الزاوية المحيطية ∠JMK لأنهما يقابلان القوس نفسه)، فتتناسب الأضلاع: JK/JL = JM/JK، ومنه (JK)² = JL × JM.