درس 12

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

في الإحداثيات الديكارتية، المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ تُحسب باستخدام صيغة المسافة:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

في الإحداثيات القطبية، نملك نقطتين $(r_1, \theta_1)$ و $(r_2, \theta_2)$ . كيف نحسب المسافة بينهما؟

صيغة المسافة في الإحداثيات القطبية

d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)}

هذه الصيغة مشتقة من قانون جيب التمام في المثلث الذي تشكله نقطة الأصل والنقطتان $P_1$ و $P_2$ .

في المثلث، لدينا:

• الضلع الأول: من الأصل إلى $P_1$ بطول $r_1$

• الضلع الثاني: من الأصل إلى $P_2$ بطول $r_2$

• الزاوية بينهما: $\theta_2 - \theta_1$ (أو $\theta_1 - \theta_2$ ، والنتيجة نفسها لأن جيب التمام زوجي)

الضلع الثالث (الذي يصل بين النقطتين) بطول $d$ ، وباستخدام قانون جيب التمام:

حالات خاصة

عندما تكون الزاويتان متساويتين: إذا كانت $\theta_1 = \theta_2$ ، فإن $\cos(0) = 1$ ، وتصبح الصيغة:

d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2} = |r_1 - r_2|

عندما تكون الزاويتان متعامدتان: إذا كانت $\theta_2 - \theta_1 = 90°$ أو $\pi/2$ راديان، فإن $\cos(90°) = 0$ ، وتصبح:

d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}

مثال عملي

أوجد المسافة بين النقطتين $P_1(3, 30°)$ و $P_2(4, 120°)$ في الإحداثيات القطبية.

الحل: نستخدم الصيغة:

d = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2(3)(4)\cos(120° - 30°)}

d = \sqrt{9 + 16 - 24\cos(90°)}

d = \sqrt{25 - 24(0)} = \sqrt{25} = 5

إذًا المسافة بين النقطتين هي 5 وحدات.

✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

اختبار المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

1 / 6

أوجد المسافة بين النقطتين P₁(3, 30°) و P₂(4, 120°) في الإحداثيات القطبية.

مقدمة إلى الإحداثيات القطبية