طول المتجه في المستوى الإحداثي – رياضيات ثالث ثانوي الفصل الثاني

طول المتجه هو المسافة بين نقطة بدايته ونقطة نهايته، ويُحسب بتطبيق نظرية فيثاغورس على مكوِّنَيه.

مفهوم أساسي

طول المتجه في المستوى الإحداثي

إذا كان v متجهًا، نقطة بدايته

(x_1, y_1)

، ونقطة نهايته

(x_2, y_2)

، فإن طول v يُعطى بالصيغة:

|\mathbf{v}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

وإذا كانت

\langle a, b \rangle

هي الصورة الإحداثية للمتجه v فإن:

|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}

مثال 1

إيجاد طول متجه من نقطتَين

أوجد طول المتجه v إذا كانت نقطة بدايته

A(1, 2)

ونقطة نهايته

B(4, 5)

|\mathbf{v}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

= \sqrt{(4-1)^2+(5-2)^2}

= \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = \mathbf{3\sqrt{2}}

مثال 2

إيجاد طول متجه من صورته الإحداثية

أوجد طول المتجه v إذا كانت صورته الإحداثية

\langle -3, 4 \rangle

|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2+b^2}

= \sqrt{(-3)^2+4^2}

= \sqrt{9+16} = \mathbf{\sqrt{25} = 5}

1️⃣ طول المتجه =

\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

— مشتق من نظرية فيثاغورس

2️⃣ إذا كانت الصورة الإحداثية

\langle a,b \rangle

فالطول =

\sqrt{a^2+b^2}

3️⃣ الطول دائمًا موجب ولا يتغير بتغيير موضع المتجه