البرهان الجبري والهندسي

أهداف الدرس

فهم معنى البرهان الجبري واستخداماته
التعرف على خصائص الأعداد الحقيقية
استخدام الخصائص الجبرية في البرهان
كتابة البرهان بطريقة العمودين
تطبيق البرهان الجبري في المسائل الهندسية

ما هو البرهان الجبري؟

البرهان الجبري هو استخدام قواعد وخصائص الجبر لإثبات صحة عبارة رياضية أو نظرية معينة.

أقسام الرياضيات:

الحساب: العمليات الأساسية (+ - × ÷)
الجبر: التعامل مع المتغيرات والمعادلات
الهندسة: دراسة الأشكال الهندسية
حساب المثلثات: العلاقات في المثلثات
الإحصاء: تحليل البيانات
التفاضل والتكامل: دراسة معدلات التغير

خصائص الأعداد الحقيقية

هذه الخصائص هي الأساس في البرهان الجبري

خصائص المساواة الأساسية

خاصية الجمع للمساواة

إذا كان $a = b$
فإن $a + c = b + c$

خاصية الطرح للمساواة

إذا كان $a = b$
فإن $a - c = b - c$

خاصية الضرب للمساواة

إذا كان $a = b$
فإن $a \cdot c = b \cdot c$

خاصية القسمة للمساواة

إذا كان $a = b$ و $c \neq 0$
فإن $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$

خاصية الانعكاس

$a = a$
(أي عدد يساوي نفسه)

خاصية التماثل

إذا كان $a = b$
فإن $b = a$

خاصية التعدي

إذا كان $a = b$ و $b = c$
فإن $a = c$

خاصية التعويض

إذا كان $a = b$
يمكن استبدال $a$ بـ $b$ في أي معادلة

خاصية التوزيع

$a(b + c) = ab + ac$

مثال تفاعلي: البرهان الجبري خطوة بخطوة

أثبت أن: إذا كان $-5(x + 4) = 70$ ، فإن $x = -18$

$-5(x + 4) = 70$

المعطيات

$-5x - 20 = 70$

خاصية التوزيع

$-5x - 20 + 20 = 70 + 20$

خاصية الجمع للمساواة

$-5x = 90$

التبسيط

$\frac{-5x}{-5} = \frac{90}{-5}$

خاصية القسمة للمساواة

$x = -18$

التبسيط

البرهان الهندسي باستخدام الجبر

نستخدم نفس الخصائص الجبرية مع المسلمات والنظريات الهندسية

مثال: البرهان الهندسي

المعطيات: الزاوية الأولى = $(8x - 5)°$ ، الزاوية الثالثة = $(6x + 7)°$
الزاوية الأولى ≅ الزاوية الوسطى ≅ الزاوية الثالثة
المطلوب: أثبت أن $x = 6$

أمثلة محلولة

برهان جبري بسيط

أثبت أن: إذا كان $2x + 7 = 15$ ، فإن $x = 4$

البرهان:
1) $2x + 7 = 15$ (المعطيات)
2) $2x + 7 - 7 = 15 - 7$ (خاصية الطرح للمساواة)
3) $2x = 8$ (التبسيط)
4) $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$ (خاصية القسمة للمساواة)
5) $x = 4$ (التبسيط) ✓

استخدام خاصية التوزيع

أثبت أن: إذا كان $3(x - 2) + 4 = 16$ ، فإن $x = 6$

البرهان:
1) $3(x - 2) + 4 = 16$ (المعطيات)
2) $3x - 6 + 4 = 16$ (خاصية التوزيع)
3) $3x - 2 = 16$ (التبسيط)
4) $3x - 2 + 2 = 16 + 2$ (خاصية الجمع للمساواة)
5) $3x = 18$ (التبسيط)
6) $\frac{3x}{3} = \frac{18}{3}$ (خاصية القسمة للمساواة)
7) $x = 6$ (التبسيط) ✓

برهان هندسي

إذا كان مجموع زاويتين متتاليتين = $180°$ ، والزاوية الأولى = $(3x + 15)°$ والثانية = $(2x - 5)°$ ، أثبت أن $x = 34$

البرهان:
1) $(3x + 15) + (2x - 5) = 180$ (الزاويتان المتتاليتان متكاملتان)
2) $3x + 15 + 2x - 5 = 180$ (إزالة الأقواس)
3) $5x + 10 = 180$ (التبسيط)
4) $5x + 10 - 10 = 180 - 10$ (خاصية الطرح للمساواة)
5) $5x = 170$ (التبسيط)
6) $\frac{5x}{5} = \frac{170}{5}$ (خاصية القسمة للمساواة)
7) $x = 34$ (التبسيط) ✓

استخدام خاصية التعدي

إذا كان $a = b + 5$ و $b = c - 3$ و $c = 10$ ، أثبت أن $a = 12$

البرهان:
1) $c = 10$ (المعطيات)
2) $b = c - 3$ (المعطيات)
3) $b = 10 - 3$ (خاصية التعويض)
4) $b = 7$ (التبسيط)
5) $a = b + 5$ (المعطيات)
6) $a = 7 + 5$ (خاصية التعويض)
7) $a = 12$ (التبسيط) ✓

ملاحظة مهمة: البرهان الجبري يعتمد على التسلسل المنطقي وتبرير كل خطوة باستخدام خاصية أو قاعدة معروفة. كل خطوة يجب أن تكون مبررة بشكل واضح.

البرهان الجبري والهندسي

أهداف الدرس

ما هو البرهان الجبري؟

أقسام الرياضيات:

خصائص الأعداد الحقيقية

خصائص المساواة الأساسية

خاصية الجمع للمساواة

خاصية الطرح للمساواة

خاصية الضرب للمساواة

خاصية القسمة للمساواة

خاصية الانعكاس

خاصية التماثل

خاصية التعدي

خاصية التعويض

خاصية التوزيع

مثال تفاعلي: البرهان الجبري خطوة بخطوة

البرهان الهندسي باستخدام الجبر

مثال: البرهان الهندسي

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات