اختبر فهمك

1

ما معادلة المستقيم الرأسي الذي يقطع محور

x

عند النقطة

(3, 0)

؟

الشرح

صيغ معادلة المستقيم

رياضيات — الجبر والهندسة التحليلية

الهدف: استخدام الصيغتين الرئيسيتين لمعادلة المستقيم والتحويل بينهما.

الصيغة الأولى

y = mx + b

الصيغة الثانية

y − y₁ = m(x − x₁)

المستقيم الرأسي

x = c

١

الصيغتان الرئيسيتان

— الصيغة الأولى: تستخدم عند معرفة الميل ونقطة التقاطع مع محور y:

y = mx + b

— $m$ = الميل، $b$ = نقطة التقاطع مع محور $y$ عند $(0, b)$ .

— الصيغة الثانية: تستخدم عند معرفة الميل ونقطة معلومة $(x_1, y_1)$ :

y - y_1 = m(x - x_1)

— $m$ = الميل، $(x_1, y_1)$ = النقطة المعلومة على المستقيم.

المستقيم الرأسي

— معادلته $x = c$ — الميل غير معرّف — لا تنطبق عليه الصيغتان.

٢

استكشاف تفاعلي — بنّ المعادلة بنفسك

— حرّك الميل والمقطع لترى المعادلة والمستقيم يتغيران معاً:

m (ميل)

b (مقطع y)

٣

أمثلة — الصيغة الثانية

— مثال ١: ميل = 3، نقطة (1, 2)

y - 2 = 3(x - 1)

y = 3x - 1

— مثال ٢: ميل = 3، نقطة سالبة (−1, −2)

y -(-2) = 3(x-(-1))

y + 2 = 3(x + 1)

y = 3x + 1

قاعدة الإشارات

— في المعادلة: $y - y_1 = m(x - x_1)$

— إذا كانت $y_1 = -2$ : يصبح $y - (-2) = y + 2$ ← السالب × السالب = موجب.

٤

مقارنة ثلاث معادلات بنفس الميل

— حرّك الميل المشترك — المستقيمات الثلاثة تتحرك معاً مع الحفاظ على نفس التباعد:

الميل المشترك

مقارنة الصيغتين

الصيغة	متى نستخدمها؟	المعادلة
الأولى	نعرف m وmقطع y	y = mx + b
الثانية	نعرف m ونقطة (x₁,y₁)	y − y₁ = m(x − x₁)
الرأسي	مستقيم رأسي فقط	x = c

الخلاصة

— الصيغة الأولى $y = mx + b$ : عند معرفة الميل $m$ ومقطع $y$ (النقطة $b$ ).

— الصيغة الثانية $y - y_1 = m(x - x_1)$ : عند معرفة الميل ونقطة على المستقيم.

— الإشارات السالبة: $y - (-2) = y + 2$ ← السالب والسالب ينتجان موجباً.

— نفس الميل: مستقيمات بنفس $m$ وmقاطع $b$ مختلفة → متوازية دائماً.

حل بالخطوات

1

أوجد معادلة المستقيم بالصيغة الأولى إذا كان ميله

3

ويتقاطع مع محور

y

عند

-2

2

ما الفرق بين الصيغتين وكيف نختار الصيغة المناسبة؟

3

أوجد معادلة المستقيم الذي ميله

-1

ويمر بالنقطة

(2, 5)

باستخدام الصيغة الثانية

4

مصنع ينتج قطع غيار بمعدل ثابت. بعد

3

ساعات أنتج

150

قطعة، وبعد

7

ساعات أنتج

350

قطعة. أوجد معادلة الإنتاج

5

قارن بين معادلتي المستقيمين:

L_1: y = 2x + 3

و

L_2: y - 1 = 2(x + 2)

6

أثبت أن تحويل أي معادلة من الصيغة الثانية للأولى يحافظ على خصائص المستقيم

7

طريق مستقيم يمر بمدينتين: الأولى عند الإحداثي

(10, 25)

كم والثانية عند

(30, 85)

كم. أوجد معادلة الطريق

8

شركة تأجير سيارات تتقاضى رسوماً ثابتة + رسم لكل كيلومتر. رحلة

50

كم تكلف

200

ريال، ورحلة

120

كم تكلف

340

ريال. أوجد معادلة التكلفة