الأقواس و الأوتار
الأوتار وأطوال أقواسها
الأوتار هي عبارة عن قطع مستقيمة يقع طرفاها على محيط الدائرة
وبهذا الكلام حتى القطر يعتبر وتر وهو أكبر وتر موجود في الدائرة
وبهذا الكلام حتى القطر يعتبر وتر وهو أكبر وتر موجود في الدائرة
فهم الأوتار:
- الوتر: قطعة مستقيمة يقع طرفاها على محيط الدائرة
- القطر: أطول وتر في الدائرة (يمر بالمركز)
- المسافة من المركز: تحدد طول الوتر
- القوس المحصور: الجزء من المحيط بين طرفي الوتر
من الشرح: "تكلمنا في الدرس السابق عن الزوايا المحيطية وأطوال أقواسها الآن راح نتكلم عن الأوتار وأطوال أقواسها"
القطر: أكبر وتر في الدائرة
لماذا القطر هو أكبر وتر؟
من الشرح: "حتى القطر يعتبر وتر وهو أكبر وتر موجود في الدائرة لأنه لو أخذنا قطر هنا في أعلى الدائرة فكل ما نزلنا يزيد طول القطر لين يوصل إلى أقصى قيمة عند مركز الدائرة"
1
بداية من أعلى الدائرة:
نبدأ بوتر صغير في أعلى الدائرة
نبدأ بوتر صغير في أعلى الدائرة
2
النزول تدريجياً:
"كل ما نزلنا يزيد طول القطر لين يوصل إلى أقصى قيمة عند مركز الدائرة"
"كل ما نزلنا يزيد طول القطر لين يوصل إلى أقصى قيمة عند مركز الدائرة"
3
بعد المركز:
"بعدها يبدأ ينقص لين يوصل إلى الصفر لما يوصل محيط الدائرة"
"بعدها يبدأ ينقص لين يوصل إلى الصفر لما يوصل محيط الدائرة"
القطر المار بالمركز هو أطول وتر ممكن
تجربة تفاعلية - تغير طول الوتر
حرك الوتر لترى كيف يتغير طوله
طول الوتر: 0 وحدة
تساوي الأوتار
نظرية تساوي الأوتار
وتران متساويان في الطول إذا وفقط إذا كانت
المسافة العمودية من مركز الدائرة إلى كل منهما متساوية
المسافة العمودية من مركز الدائرة إلى كل منهما متساوية
كيف نحدد تساوي الأوتار؟
من الشرح: "الآن لو عندنا وترين، وتر فوقنا ووتر تحت متى نقول عنهم أنهم متساويين؟ نقيس المسافة العمودية بينهم وبين مركز الدائرة"
1
رسم العمودي:
نرسم العمودي من مركز الدائرة إلى كل وتر
نرسم العمودي من مركز الدائرة إلى كل وتر
2
قياس المسافات:
"نقيس المسافة العمودية بينهم وبين مركز الدائرة"
"نقيس المسافة العمودية بينهم وبين مركز الدائرة"
3
المقارنة:
"فإذا تساوت هذه المسافة فمعناتها أن الوترين متساويين"
"فإذا تساوت هذه المسافة فمعناتها أن الوترين متساويين"
مسافات متساوية ← أوتار متساوية
نتيجة مهمة: "إذا تساوي الوترين فأكيد راح تساوي الأقواس المحصورة بينهم"
مسافات متساوية من المركز
←
أوتار متساوية
←
أقواس متساوية
نظرية القطر العمودي على الوتر
نظرية القطر العمودي
القطر العمودي على الوتر يقسم هذا الوتر إلى قطعتين متساويتين
وأيضاً القوس تبعه إلى قياسين متساويين
وأيضاً القوس تبعه إلى قياسين متساويين
شرح النظرية من الدرس
من الشرح: "أن القطر العمودي على الوتر يقسم هذا الوتر إلى قطعتين متساويتين وأيضا القواس تبعه إلى قياسين متساويين"
1
اختيار القطر المناسب:
"لو عندنا وتر هنا مثلا نلاحظ أن الدائرة فيها عدة أقطار أو عدد لا نهائي من الأقطار"
"لو عندنا وتر هنا مثلا نلاحظ أن الدائرة فيها عدة أقطار أو عدد لا نهائي من الأقطار"
2
الشرط الأساسي:
"لكن لو أخذنا القطر العمودي على الوتر هذا أو حتى نصف القطر طالما هو عمودي على الوتر"
"لكن لو أخذنا القطر العمودي على الوتر هذا أو حتى نصف القطر طالما هو عمودي على الوتر"
3
النتيجة:
"فلازم يقسم الوتر إلى نصفين متساويين ويقسم أيضا القواس تبعه إلى جزئين متساويين"
"فلازم يقسم الوتر إلى نصفين متساويين ويقسم أيضا القواس تبعه إلى جزئين متساويين"
القطر العمودي يقسم الوتر والقوس إلى جزأين متساويين
إذا كان القطر عمودياً على الوتر، فإن:
• الوتر ينقسم إلى جزأين متساويين
• القوس ينقسم إلى جزأين متساويين
• نقطة التقاطع هي منتصف الوتر
• الوتر ينقسم إلى جزأين متساويين
• القوس ينقسم إلى جزأين متساويين
• نقطة التقاطع هي منتصف الوتر
تجربة تفاعلية - القطر العمودي
حرك الوتر لترى كيف يقسمه القطر العمودي
القطر العمودي يقسم الوتر والقوس إلى جزأين متساويين
أمثلة محلولة
مثال 1: تحديد الوتر الأطول
المعطى: دائرة نصف قطرها 5 سم، أوتار على مسافات 3 سم، 4 سم، و 0 سم من المركز
المطلوب: أي الأوتار أطول؟
1
حساب أطوال الأوتار:
نستخدم القانون: طول الوتر = 2√(r² - d²)
حيث r = نصف القطر، d = المسافة من المركز
نستخدم القانون: طول الوتر = 2√(r² - d²)
حيث r = نصف القطر، d = المسافة من المركز
2
الوتر الأول (d = 3):
طول الوتر = 2√(5² - 3²) = 2√(25 - 9) = 2√16 = 8 سم
طول الوتر = 2√(5² - 3²) = 2√(25 - 9) = 2√16 = 8 سم
3
الوتر الثاني (d = 4):
طول الوتر = 2√(5² - 4²) = 2√(25 - 16) = 2√9 = 6 سم
طول الوتر = 2√(5² - 4²) = 2√(25 - 16) = 2√9 = 6 سم
4
الوتر الثالث (d = 0):
طول الوتر = 2√(5² - 0²) = 2√25 = 10 سم (هذا هو القطر)
طول الوتر = 2√(5² - 0²) = 2√25 = 10 سم (هذا هو القطر)
الوتر الأطول هو القطر (المسافة = 0) بطول 10 سم
مثال 2: تطبيق نظرية القطر العمودي
المعطى: وتر طوله 24 سم، قطر عمودي عليه
المطلوب: طول كل جزء من الوتر
1
تطبيق النظرية:
القطر العمودي على الوتر يقسمه إلى جزأين متساويين
القطر العمودي على الوتر يقسمه إلى جزأين متساويين
2
الحساب:
طول كل جزء = طول الوتر ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 سم
طول كل جزء = طول الوتر ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 سم
كل جزء من الوتر = 12 سم
مثال 3: تساوي الأوتار
المعطى: دائرة مركزها O، وتران AB و CD على نفس المسافة من المركز
المطلوب: أثبت أن الوترين متساويان
1
المعطى:
المسافة من O إلى AB = المسافة من O إلى CD
المسافة من O إلى AB = المسافة من O إلى CD
2
تطبيق النظرية:
إذا تساوت المسافات العمودية من المركز إلى الوترين، فالوتران متساويان
إذا تساوت المسافات العمودية من المركز إلى الوترين، فالوتران متساويان
إذن AB = CD
خصائص وعلاقات مهمة
العلاقات بين الأوتار والأقواس والمسافات من المركز
الخصائص الأساسية:
| الخاصية | الشرط | النتيجة |
|---|---|---|
| أطول وتر | يمر بالمركز | القطر |
| أوتار متساوية | مسافات متساوية من المركز | أقواس متساوية |
| قطر عمودي على وتر | تعامد | ينصف الوتر والقوس |
| وتر أقرب للمركز | مسافة أقل من المركز | طول أكبر |
مسافة من المركز
↕
طول الوتر
أوتار متساوية
←
أقواس متساوية
قطر عمودي
←
ينصف الوتر
←
ينصف القوس
العلاقة الرياضية:
إذا كان نصف القطر = r والمسافة من المركز للوتر = d
فإن: طول الوتر = 2√(r² - d²)
إذا كان نصف القطر = r والمسافة من المركز للوتر = d
فإن: طول الوتر = 2√(r² - d²)
الخلاصة
الأوتار: قطع مستقيمة طرفاها على محيط الدائرة
القطر هو أطول وتر، والعلاقة عكسية بين المسافة من المركز وطول الوتر
القطر هو أطول وتر، والعلاقة عكسية بين المسافة من المركز وطول الوتر
النقاط المهمة:
- القطر هو أطول وتر في الدائرة
- المسافة من المركز تحدد طول الوتر
- أوتار متساوية ← مسافات متساوية من المركز
- القطر العمودي ينصف الوتر والقوس
- أوتار متساوية لها أقواس متساوية
أخطاء شائعة:
- اعتقاد أن جميع الأوتار متساوية في الطول
- الخلط بين القوس والوتر
- عدم مراعاة أن القطر العمودي فقط هو الذي ينصف الوتر
- نسيان أن العلاقة عكسية بين المسافة من المركز وطول الوتر
مفتاح الفهم: كلما اقترب الوتر من مركز الدائرة، زاد طوله، وأقصى طول يحققه هو عندما يمر بالمركز (القطر).
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...