الأقواس و الأوتار
الشرح
الأوتار وأطوال أقواسها
الهندسة — خصائص الأوتار في الدائرة
الهدف: فهم خصائص الأوتار وعلاقتها بالمركز والأقواس.
القطر أكبر وتر — سلايدر تفاعلي
— كلما اقترب الوتر من مركز الدائرة زاد طوله، وأقصى طول عند القطر (المسافة = 0).
— كلما ابتعد الوتر عن المركز قصُر، حتى يصل إلى الصفر عند المحيط.
تساوي الأوتار
— وتران متساويان في الطول إذا كانت المسافة العمودية من المركز إلى كل منهما متساوية.
— الأوتار المتساوية تحصر أقواسًا متساوية.
القاعدة
— d₁ = d₂ ← الوتران متساويان ← القوسان متساويان. والعكس صحيح.
القطر العمودي على الوتر — تفاعلي
— القطر العمودي على الوتر ينصّف الوتر إلى جزأين متساويين.
— كذلك ينصّف القوس المحصور بين طرفَي الوتر.
ملاحظة مهمة
— يكفي نصف القطر العمودي — لا يشترط القطر الكامل. الشرط هو العمودية.
أمثلة محلولة
مثال ١ — الوتر الأطول
— دائرة نصف قطرها 5. أوتار على مسافات 3 و 4 و 0 من المركز. أيها أطول؟
القطر (d=0) هو الأطول — طوله = 10
مثال ٢ — تطبيق القطر العمودي
— وتر طوله 24. قطر عمودي عليه. ما طول كل جزء؟
كل جزء = 12
مثال ٣ — تساوي الأوتار
— وتران AB وCD على نفس المسافة من المركز O. أثبت أنهما متساويان.
— المسافة من O إلى AB = المسافة من O إلى CD (معطى).
— بتطبيق النظرية: المسافات متساوية ← الأوتار متساوية.
AB = CD
ملخص الخصائص
الخلاصة
— الوتر: قطعة مستقيمة طرفاها على المحيط — القطر أكبرها.
— قانون الطول: — كلما كبر d صغُر L.
— تساوي الأوتار: d₁ = d₂ ← الوتران والقوسان متساوية.
— القطر العمودي: ينصّف الوتر ويُنصّف قوسه — الشرط هو العمودية.