التقاء وترين أو قاطعين داخل الدائرة

تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة

الأهداف

  • مراجعة المفاهيم الأساسية: المماس، الوتر، والقاطع
  • فهم الفرق بين الوتر والقاطع
  • تعلم نظرية تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة
  • تطبيق النظرية في حل المسائل المختلفة
  • التدرب على الحلول العكسية وإيجاد قياسات الأقواس
في هذا الدرس سنتعلم كيفية حساب الزوايا المتكونة من تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة. هذه النظرية لها تطبيقات واسعة في الحياة العملية مثل تصميم العجلات والساعات والبوصلات.

مراجعة المفاهيم الأساسية

المماس والوتر والقاطع

المماس (Tangent):

  • خط مستقيم يلتقي مع الدائرة في نقطة واحدة فقط
  • هذه النقطة تسمى نقطة التماس

الوتر (Chord):

  • قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة
  • لا يمتد خارج الدائرة

القاطع (Secant):

  • مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين
  • هو امتداد للوتر من الجهتين
  • يمتد خارج الدائرة

🎯 استكشف المفاهيم الثلاثة

المفهوم الوتر القاطع
التعريف قطعة مستقيمة محدودة خط مستقيم غير محدود
نقاط التقاطع ينتهي عند نقطتي التقاطع يمتد خارج الدائرة
العلاقة جزء من القاطع امتداد للوتر

نظرية تقاطع الأوتار/القواطع داخل الدائرة

النظرية الأساسية
النظرية:
إذا تقاطع وتران أو قاطعان داخل الدائرة، فإن:

\text{قياس الزاوية} = \frac{\text{القوس الأول} + \text{القوس المقابل}}{2}
القانون الرياضي:
\angle 1 = \frac{AB + CD}{2}

\angle 2 = \frac{AC + BD}{2}

حيث AB, CD, AC, BD تمثل قياسات الأقواس بالدرجات

الزاويتان المتقابلتان متساويتان: \angle 1 = \angle 3 و \angle 2 = \angle 4

🔍 شاهد النظرية في العمل

اضغط على "عرض النظرية" لرؤية كيفية تطبيق القانون

الأمثلة التطبيقية

مثال 3: حل عكسي - إيجاد قياس القوس

المعطيات:

  • وتران AB و CD يتقاطعان في النقطة P داخل الدائرة
  • الزاوية ∠APC = 65°
  • القوس AC = 50°

المطلوب:

أوجد قياس القوس BD

الحل:

1️⃣ تطبيق النظرية: \angle APC = \frac{AC + BD}{2}
2️⃣ التعويض: 65° = \frac{50° + BD}{2}
3️⃣ الضرب في 2: 130° = 50° + BD
4️⃣ حل المعادلة: BD = 130° - 50° = 80°
5️⃣ النتيجة: قياس القوس BD = 80°

مثال 4: مسألة تطبيقية - الساعة

المعطيات:

في ساعة دائرية، يتقاطع عقربا الساعة والدقائق في مركز الساعة. في لحظة معينة:

  • عقرب الساعات يشير إلى زاوية تقطع قوساً = 30° من 12
  • عقرب الدقائق يشير إلى زاوية تقطع قوساً = 180° من 12

المطلوب:

أوجد الزاوية بين العقربين

الحل:

1️⃣ الفهم: العقربان يتقاطعان في المركز (داخل الدائرة)
2️⃣ القوس من عقرب الساعات إلى عقرب الدقائق = |180° - 30°| = 150°
3️⃣ القوس المقابل = 360° - 150° = 210°
4️⃣ تطبيق النظرية: \text{الزاوية} = \frac{150° + 210°}{2} = \frac{360°}{2} = 180°
5️⃣ النتيجة: العقربان على خط مستقيم واحد (زاوية مستقيمة)

تمارين للحل

تمرين 1:

وتران PQ و RS يتقاطعان في النقطة T داخل دائرة. إذا كان القوس PR = 70° والقوس QS = 110°، أوجد قياس الزاوية ∠PTR.

تمرين 2:

قاطعان يتقاطعان داخل دائرة مكونين زاوية قياسها 85°. إذا كان أحد الأقواس المتقابلة = 60°، أوجد قياس القوس الآخر.

ملاحظات مهمة

شروط تطبيق النظرية:

  1. التقاطع داخل الدائرة (وليس خارجها)
  2. خطان مستقيمان (وترين أو قاطعين)
  3. كل خط يقطع الدائرة في نقطتين
الحالات الخاصة:
  • إذا كان مجموع القوسين = 180° ← الزاوية = 90° (زاوية قائمة)
  • إذا كانت الأقواس متساوية ← الزاوية = قياس أحد الأقواس
  • الزاويتان المتقابلتان متساويتان دائماً
الأخطاء الشائعة:
❌ خطأ: استخدام النظرية للتقاطع خارج الدائرة
✅ صحيح: النظرية خاصة بالتقاطع داخل الدائرة فقط

❌ خطأ: جمع جميع الأقواس
✅ صحيح: جمع القوسين المتقابلين فقط
الخلاصة:
نظرية تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة:

قياس الزاوية = (مجموع القوسين المتقابلين) ÷ 2

\text{Angle} = \frac{\text{Arc}_1 + \text{Arc}_2}{2}
هذه النظرية أداة قوية لحل مسائل الدوائر وتطبيقاتها في الحياة العملية مثل:
  • تصميم العجلات والتروس
  • حسابات الساعات والبوصلات
  • تحليل الحركة الدورانية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
22
الدرس التالي
أول ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...