التحويلات الهندسية للدوال: الانسحاب الرأسي و الأفقي

التحويلات الهندسية على الدوال

في هذا الدرس سنتعمق أكثر في عالم الدوال وننتقل إلى التحويلات الهندسية على الدوال. سنتعلم الانسحاب الرأسي والانسحاب الأفقي وكيفية تطبيقهما عملياً على الدوال المختلفة.

ما هي التحويلات الهندسية على الدوال؟

أنواع التحويلات الأساسية:

الانسحاب الرأسي: رفع الدالة إلى الأعلى أو إنزالها إلى الأسفل
الانسحاب الأفقي: إزاحة الدالة إلى اليمين أو إلى اليسار

مثال: الدالة التربيعية والتحويلات عليها

القيمة: 0
القيمة: 0

الانسحاب الرأسي (Vertical Translation)

القاعدة الأساسية:

g(x) = f(x) + k

حيث k هو مقدار الانسحاب الرأسي

إذا كان k > 0: انسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار k وحدة
إذا كان k < 0: انسحاب رأسي إلى الأسفل بمقدار |k| وحدة
ملاحظة مهمة: في الانسحاب الرأسي نتعامل مع كامل المعادلة (ما بعد إشارة التساوي)

الرسم البياني للانسحاب الرأسي

القيمة: 0

أمثلة على الانسحاب الرأسي

الدالة الأصلية:
f(x) = x^2
انسحاب رأسي إلى الأعلى 4 وحدات:
g(x) = x^2 + 4
انسحاب رأسي إلى الأسفل 4 وحدات:
h(x) = x^2 - 4

الانسحاب الأفقي (Horizontal Translation)

القاعدة الأساسية:

g(x) = f(x - h)

حيث h هو مقدار الانسحاب الأفقي

إذا كان h > 0: انسحاب أفقي إلى اليمين بمقدار h وحدة
إذا كان h < 0: انسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار |h| وحدة
ملاحظة مهمة: الإشارة في الانسحاب الأفقي عكس الاتجاه! السالب يعني يميناً والموجب يعني يساراً

الرسم البياني للانسحاب الأفقي

القيمة: 0

أمثلة على الانسحاب الأفقي

الدالة الأصلية:
f(x) = x^2
انسحاب أفقي إلى اليمين 4 وحدات:
g(x) = (x - 4)^2
انسحاب أفقي إلى اليسار 4 وحدات:
h(x) = (x + 4)^2

لماذا الإشارة عكسية في الانسحاب الأفقي؟

عندما نكتب f(x - 4)، فإننا نبحث عن النقطة التي تجعل (x - 4) = 0

هذا يحدث عندما x = 4، لذلك الدالة تنزاح إلى اليمين 4 وحدات

f(x - 4) \Rightarrow انسحاب يميناً
f(x + 4) \Rightarrow انسحاب يساراً

التحويلات المجتمعة

الصورة العامة للتحويلات:

g(x) = f(x - h) + k

حيث h هو الانسحاب الأفقي و k هو الانسحاب الرأسي

تطبيق التحويلات على دالة القيمة المطلقة

القيمة: 0
القيمة: 0

مثال شامل: دالة القيمة المطلقة

الدالة الأصلية:
f(x) = |x|
انسحاب رأسي إلى الأعلى 4 وحدات:
g(x) = |x| + 4
انسحاب رأسي إلى الأسفل 4 وحدات:
g(x) = |x| - 4
انسحاب أفقي إلى اليمين 4 وحدات:
g(x) = |x - 4|
انسحاب أفقي إلى اليسار 4 وحدات:
g(x) = |x + 4|
تحويلات مجتمعة:
g(x) = |x - 2| + 3

انسحاب أفقي يميناً 2 وحدة + انسحاب رأسي أعلى 3 وحدات

الانسحاب الرأسي

  • نتعامل مع كامل المعادلة
  • نضيف أو نطرح عدداً من الدالة
  • f(x) + k
  • موجب = أعلى، سالب = أسفل
  • الإشارة تتطابق مع الاتجاه

الانسحاب الأفقي

  • نتعامل مع المتغير المستقل
  • نستبدل x بـ (x - h)
  • f(x - h)
  • سالب = يمين، موجب = يسار
  • الإشارة عكس الاتجاه

أمثلة محلولة متنوعة

المثال الأول: دالة الجذر التربيعي

المطلوب: اكتب معادلة الدالة الناتجة عن إزاحة f(x) = \sqrt{x} بمقدار 3 وحدات إلى اليمين و 2 وحدة إلى الأسفل
الحل:
الدالة الأصلية: f(x) = \sqrt{x}
تطبيق الانسحاب الأفقي (3 وحدات يميناً):
نستبدل x بـ (x - 3): g(x) = \sqrt{x - 3}
تطبيق الانسحاب الرأسي (2 وحدة أسفل):
نطرح 2 من كامل الدالة: g(x) = \sqrt{x - 3} - 2
الإجابة النهائية:
g(x) = \sqrt{x - 3} - 2

المثال الثاني: دالة المقلوب

المطلوب: إذا كانت f(x) = \frac{1}{x}، اكتب معادلة الدالة بعد إزاحتها 4 وحدات إلى اليسار و 5 وحدات إلى الأعلى
الحل:
الدالة الأصلية: f(x) = \frac{1}{x}
تحليل المطلوب:
  • 4 وحدات يساراً → انسحاب أفقي بـ h = -4
  • 5 وحدات أعلى → انسحاب رأسي بـ k = 5
تطبيق الانسحاب الأفقي (4 وحدات يساراً):
نستبدل x بـ (x - (-4)) = (x + 4): g(x) = \frac{1}{x + 4}
تطبيق الانسحاب الرأسي (5 وحدات أعلى):
نضيف 5 لكامل الدالة: g(x) = \frac{1}{x + 4} + 5
الإجابة النهائية:
g(x) = \frac{1}{x + 4} + 5

المثال الثالث: دالة تكعيبية

المطلوب: حدد نوع وقيمة التحويلات المطبقة على الدالة f(x) = x^3 للحصول على g(x) = (x + 1)^3 - 3
الحل:
الدالة الأصلية: f(x) = x^3
الدالة المحولة: g(x) = (x + 1)^3 - 3
تحليل التحويل الأفقي:
(x + 1) = (x - (-1))

هذا يعني h = -1، أي انسحاب أفقي وحدة واحدة إلى اليسار

تحليل التحويل الرأسي:
-3 في نهاية الدالة

هذا يعني k = -3، أي انسحاب رأسي 3 وحدات إلى الأسفل

الإجابة:
  • انسحاب أفقي: وحدة واحدة إلى اليسار
  • انسحاب رأسي: 3 وحدات إلى الأسفل

المثال الرابع: دالة الجيب

المطلوب: اكتب معادلة الدالة الناتجة عن تطبيق التحويلات التالية على f(x) = \sin(x):
  • إزاحة \frac{\pi}{4} وحدة إلى اليمين
  • إزاحة وحدتين إلى الأعلى
الحل:
الدالة الأصلية: f(x) = \sin(x)
تطبيق الانسحاب الأفقي (\frac{\pi}{4} وحدة يميناً):
نستبدل x بـ (x - \frac{\pi}{4}): g(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)
تطبيق الانسحاب الرأسي (وحدتين أعلى):
نضيف 2 لكامل الدالة: g(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2
الإجابة النهائية:
g(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2

اختبار الأمثلة تفاعلياً

اختر دالة لتطبيق التحويلات عليها

القيمة: 0
القيمة: 0

ملخص التحويلات الهندسية

  • الانسحاب الرأسي: g(x) = f(x) + k حيث k موجب يعني أعلى وk سالب يعني أسفل
  • الانسحاب الأفقي: g(x) = f(x - h) حيث h موجب يعني يمين وh سالب يعني يسار
  • التحويلات المجتمعة: g(x) = f(x - h) + k تجمع بين النوعين
  • نقطة مهمة: الإشارة في الانسحاب الأفقي عكس الاتجاه المتوقع
  • خطوات الحل: حدد نوع التحويل → طبق القاعدة → اكتب المعادلة النهائية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
421
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...