التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال
اختبر فهمك
اختبار التمدد الرأسي والأفقي للدوال
1
ما هو التمدد الرأسي للدالة؟
الشرح
التمدد الرأسي والأفقي للدوال
الموضوع: التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال وكيفية التعبير عنهما رياضياً
المفاهيم: التوسع الرأسي، التضيق الرأسي، التوسع الأفقي، التضيق الأفقي
الهدف: فهم كيفية تمدد الدوال رأسياً وأفقياً والتعبير عنها رياضياً باستخدام دالة الساين
المقدمة
التمدد الرأسي على محور الـ y والتمدد الأفقي على محور الـ x
في هذا الدرس راح نتكلم عن التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال
التمدد الرأسي:
نتكلم عن تمدد الدالة بشكل رأسي على محور الـ y
سواء سحبناها للأعلى أو ضغطناها للأسفل
التمدد الأفقي:
نتكلم عن التمدد على محور الـ x
سواء سحبناها أفقياً أو ضغطنا الدالة أفقياً
التمدد الرأسي:
نتكلم عن تمدد الدالة بشكل رأسي على محور الـ y
سواء سحبناها للأعلى أو ضغطناها للأسفل
التمدد الأفقي:
نتكلم عن التمدد على محور الـ x
سواء سحبناها أفقياً أو ضغطنا الدالة أفقياً
ملاحظة مهمة:
• في حال التمدد الرأسي: يكون التمدد رأسي فقط، أما بالنسبة لوضع الدالة أفقياً فما يصير فيه تغيير
• في حال التمدد الأفقي: يكون التمدد على محور الـ x فقط، أما بالنسبة للدالة على محور الـ y فنفس الارتفاع ما يصير فيه أي تغيير
• في حال التمدد الرأسي: يكون التمدد رأسي فقط، أما بالنسبة لوضع الدالة أفقياً فما يصير فيه تغيير
• في حال التمدد الأفقي: يكون التمدد على محور الـ x فقط، أما بالنسبة للدالة على محور الـ y فنفس الارتفاع ما يصير فيه أي تغيير
عندنا أربعة حالات: توسع رأسي، تضيق رأسي، توسع أفقي، تضيق أفقي
1 الحالات الأربعة للتمدد
عندنا أربع حالات في تمدد الدوال
التمدد الرأسي
1. توسع رأسي:
إذا الدالة ترتفع أو تنسحب إلى أعلى
2. تضيق رأسي:
إذا ضغطنا الدالة أو انخفض ارتفاعها
إذا الدالة ترتفع أو تنسحب إلى أعلى
2. تضيق رأسي:
إذا ضغطنا الدالة أو انخفض ارتفاعها
التمدد الأفقي
3. توسع أفقي:
إذا سحبنا الدالة أفقياً
4. تضيق أفقي:
إذا ضغطنا الدالة أفقياً
إذا سحبنا الدالة أفقياً
4. تضيق أفقي:
إذا ضغطنا الدالة أفقياً
الآن نتعلم كيف نعبر عنهم رياضياً
2 معلومة رياضية بسيطة
الضرب في عدد أكبر من 1 يكبر الناتج، والضرب في عدد بين 0 و 1 يصغر الناتج
القاعدة:
• لما نضرب في عدد أعلى من الواحد فمعناها أن الناتج يكبر
• لما نضرب في عدد ما بين الصفر والواحد فالناتج يصغر
مثال:
لو عندنا العدد 5
إذا ضربناها في عدد أعلى من 1 (مثل 2 أو 3 أو 1.5):
الناتج يكون أعلى من 5
إذا ضربناها في عدد بين 0 و 1 (مثل 0.5 أو 0.25):
الناتج يكون أقل من 5 (كأننا ناخذ نسبة منها)
• لما نضرب في عدد أعلى من الواحد فمعناها أن الناتج يكبر
• لما نضرب في عدد ما بين الصفر والواحد فالناتج يصغر
مثال:
لو عندنا العدد 5
إذا ضربناها في عدد أعلى من 1 (مثل 2 أو 3 أو 1.5):
الناتج يكون أعلى من 5
إذا ضربناها في عدد بين 0 و 1 (مثل 0.5 أو 0.25):
الناتج يكون أقل من 5 (كأننا ناخذ نسبة منها)
هذه المعلومة مهمة جداً لفهم التمدد الرأسي والأفقي
3 التمدد الرأسي
نضرب كامل المعادلة في عدد a
1
الصيغة الرياضية
في التمدد الرأسي دائماً نضرب كامل المعادلة في عدد
f(x) كاملة نضربها في عدد a
تصبح: a·f(x)
أمثلة:
• إذا كانت المعادلة sin(x)، تصبح: a·sin(x)
• إذا كانت المعادلة sin(x) + x²، تصبح: a·(sin(x) + x²)
نضرب المعادلة كلها في العدد a
f(x) كاملة نضربها في عدد a
تصبح: a·f(x)
أمثلة:
• إذا كانت المعادلة sin(x)، تصبح: a·sin(x)
• إذا كانت المعادلة sin(x) + x²، تصبح: a·(sin(x) + x²)
نضرب المعادلة كلها في العدد a
2
الحالة الأولى: توسع رأسي (a > 1)
إذا a أعلى من 1، فيصير عندنا توسع رأسي
يعني الدالة بسرعة توصل إلى قيمها
تصير عندنا تسارع لمحور y
مثال على دالة الساين:
كأننا كبرنا السعة تبع الساين ويف
كأننا سحبناها رأسياً من الجهتين
يعني الدالة بسرعة توصل إلى قيمها
تصير عندنا تسارع لمحور y
مثال على دالة الساين:
كأننا كبرنا السعة تبع الساين ويف
كأننا سحبناها رأسياً من الجهتين
3
الحالة الثانية: تضيق رأسي (0 < a < 1)
إذا ضربنا كامل المعادلة بعدد بين 0 و 1، فيصير عندنا تضيق رأسي
كأننا ضغطنا الدالة من الجهتين
يصير ارتفاعها أقل
كأننا ضغطنا الدالة من الجهتين
يصير ارتفاعها أقل
التمدد الرأسي: a > 1 = توسع | 0 < a < 1 = تضيق
4 التمدد الأفقي
نضرب x نفسها (المتغير) في عدد a
1
الصيغة الرياضية
في التمدد الأفقي نضرب x نفسها (المتغير نفسها) في عدد
نستبدل x بـ a·x
تصبح: f(a·x)
أمثلة:
• إذا كانت المعادلة sin(x)، تصبح: sin(5x) أو sin(ax)
• إذا كانت المعادلة sin(x) + x²، تصبح: sin(5x) + (5x)²
نستبدل x كلها بـ 5x في كل المعادلة
نستبدل x بـ a·x
تصبح: f(a·x)
أمثلة:
• إذا كانت المعادلة sin(x)، تصبح: sin(5x) أو sin(ax)
• إذا كانت المعادلة sin(x) + x²، تصبح: sin(5x) + (5x)²
نستبدل x كلها بـ 5x في كل المعادلة
2
الحالة الأولى: تضيق أفقي (a > 1)
إذا كان a أكبر من 1، يصير عندنا تضيق أفقي
مثال: sin(5x)
كأننا نسرع محور الـ x
كأننا قاعدين نشوف إيش يصير بالدالة بشكل أسرع
هذا يساعدنا نتذكر: إذا كان العدد أعلى من 1، كأننا سرعنا محور الـ x
فالساين ويف تتكرر بشكل أسرع
فعشان كذا يصير عندنا تضيق أفقي (رغم أن العدد أعلى من 1)
مثال: sin(5x)
كأننا نسرع محور الـ x
كأننا قاعدين نشوف إيش يصير بالدالة بشكل أسرع
هذا يساعدنا نتذكر: إذا كان العدد أعلى من 1، كأننا سرعنا محور الـ x
فالساين ويف تتكرر بشكل أسرع
فعشان كذا يصير عندنا تضيق أفقي (رغم أن العدد أعلى من 1)
3
الحالة الثانية: توسع أفقي (0 < a < 1)
إذا كان العدد بين 0 و 1، فيصير عندنا توسع أفقي
كأننا بطأنا محور الـ x
فتصير الدالة تمشي أفقياً بشكل أبطأ
كأننا سحبنا دالة الساين من الجهتين
تتأخر على ما تكمل دورة كاملة
كأننا بطأنا محور الـ x
فتصير الدالة تمشي أفقياً بشكل أبطأ
كأننا سحبنا دالة الساين من الجهتين
تتأخر على ما تكمل دورة كاملة
التمدد الأفقي: a > 1 = تضيق (تسريع) | 0 < a < 1 = توسع (تبطيء)
5 الفرق بين التمدد الرأسي والأفقي
الفرق الأساسي في كيفية التعبير الرياضي
التمدد الرأسي
نضرب كامل المعادلة بعدد a
a·f(x)
a > 1 → توسع رأسي
0 < a < 1 → تضيق رأسي
a·f(x)
a > 1 → توسع رأسي
0 < a < 1 → تضيق رأسي
التمدد الأفقي
نستبدل x بـ a·x
f(a·x)
a > 1 → تضيق أفقي
0 < a < 1 → توسع أفقي
f(a·x)
a > 1 → تضيق أفقي
0 < a < 1 → توسع أفقي
لاحظ: في التمدد الأفقي، العلاقة معكوسة (a > 1 يعطي تضيق لأنه يسرع المحور)
الرأسي: نضرب الدالة كاملة | الأفقي: نستبدل x
6 أمثلة على دالة الساين
اخترنا دالة الساين لأنها توضح لنا التمدد الرأسي والأفقي بشكل واضح
1
التمدد الرأسي لدالة الساين
مثال 1: 5·sin(x)
a = 5 (أكبر من 1)
سعة الدالة = 5
تتراوح من 5 إلى -5
هذا توسع رأسي
مثال 2: 0.4·sin(x)
a = 0.4 (بين 0 و 1)
سعة الدالة = 0.4
تتراوح من 0.4 إلى -0.4
هذا تضيق رأسي
a = 5 (أكبر من 1)
سعة الدالة = 5
تتراوح من 5 إلى -5
هذا توسع رأسي
مثال 2: 0.4·sin(x)
a = 0.4 (بين 0 و 1)
سعة الدالة = 0.4
تتراوح من 0.4 إلى -0.4
هذا تضيق رأسي
2
التمدد الأفقي لدالة الساين
مثال 1: sin(5x)
a = 5 (أكبر من 1)
الدورة تكتمل بشكل أسرع
هذا تضيق أفقي (تسريع محور x)
مثال 2: sin(0.4x)
a = 0.4 (بين 0 و 1)
الدورة تكتمل بشكل أبطأ
هذا توسع أفقي (تبطيء محور x)
a = 5 (أكبر من 1)
الدورة تكتمل بشكل أسرع
هذا تضيق أفقي (تسريع محور x)
مثال 2: sin(0.4x)
a = 0.4 (بين 0 و 1)
الدورة تكتمل بشكل أبطأ
هذا توسع أفقي (تبطيء محور x)
السعة تتحدد بالتمدد الرأسي، وسرعة الدورة تتحدد بالتمدد الأفقي
7 العلاقة مع الدروس السابقة
هذا الدرس يذكرنا بدروس سابقة عن تحويلات الدوال
الانسحاب الرأسي والأفقي:
• الانسحاب الرأسي: نضيف عدد إلى المعادلة كاملة
• الانسحاب الأفقي: نستبدل x بالتعبير الرياضي الجديد
الانعكاس حول المحورين:
• يا أما نضرب كامل المعادلة بسالب
• أو نستبدل x بـ -x
التمدد (هذا الدرس):
• التمدد الرأسي: نضرب كامل المعادلة بعدد a
• التمدد الأفقي: نستبدل x بـ a·x
• الانسحاب الرأسي: نضيف عدد إلى المعادلة كاملة
• الانسحاب الأفقي: نستبدل x بالتعبير الرياضي الجديد
الانعكاس حول المحورين:
• يا أما نضرب كامل المعادلة بسالب
• أو نستبدل x بـ -x
التمدد (هذا الدرس):
• التمدد الرأسي: نضرب كامل المعادلة بعدد a
• التمدد الأفقي: نستبدل x بـ a·x
نفس النمط: رأسي = نعدل المعادلة كاملة | أفقي = نعدل x فقط
الملخص النهائي
التمدد الرأسي
a·f(x)
↓
a > 1: توسع
0 < a < 1: تضيق
↓
a > 1: توسع
0 < a < 1: تضيق
التمدد الأفقي
f(a·x)
↓
a > 1: تضيق
0 < a < 1: توسع
↓
a > 1: تضيق
0 < a < 1: توسع
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...