التمدد الرأسي والأفقي للدوال

التمدد هو تحويل غير قياسي يؤدي إلى تضييق (ضغط) أو توسع (سحب) منحنى الدالة رأسياً أو أفقياً.

مفهوم أساسي

التمدد الرأسي

$g(x) = a \cdot f(x)$

إذا كان $a$ عدداً حقيقياً موجباً، فإن منحنى الدالة:

• توسع رأسي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $a > 1$

• تضييق رأسي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $0 < a < 1$

التمدد الأفقي

$g(x) = f(ax)$

إذا كان $a$ عدداً حقيقياً موجباً، فإن منحنى الدالة:

• تضييق أفقي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $a > 1$

• توسع أفقي لمنحنى $f(x)$ إذا كانت $0 < a < 1$

ملاحظة مهمة: في التمدد الأفقي، العلاقة عكسية! عندما $a > 1$ يحدث تضييق، وعندما $0 < a < 1$ يحدث توسع.

فهم تأثير التمدد على الأبعاد:

التمدد الرأسي

يتغير: الارتفاع (المحور الصادي)

يبقى ثابتاً: العرض على المحور السيني

النقاط تتحرك عمودياً أعلى أو أسفل، لكن مواضعها الأفقية تبقى كما هي

التمدد الأفقي

يتغير: العرض (المحور السيني)

يبقى ثابتاً: الارتفاع على المحور الصادي

النقاط تتحرك أفقياً يميناً أو يساراً، لكن ارتفاعاتها تبقى كما هي

تفسير سلوك التمدد:

التمدد الأفقي: "السرعة الزمنية"

عندما نضرب $x$ في عدد أكبر من 1 في $f(ax)$ ، فكأننا نسأل:

"ماذا سيحدث للدالة إذا تحرك المتغير $x$ أسرع من المعتاد؟"

النتيجة: الدالة تكتمل في مسافة أقل (تضييق أفقي)

مثال: $\sin(2x)$ تكمل دورة كاملة في $\pi$ بدلاً من $2\pi$

التمدد الرأسي: "تضخيم الاستجابة"

عندما نضرب الدالة في عدد أكبر من 1 في $af(x)$ ، فكأننا نسأل:

"ماذا لو كانت استجابة الدالة أقوى/أضعف من المعتاد؟"

النتيجة: كل قيمة تُضرب في المعامل (تضخيم أو تقليل الاستجابة)

مثال: $3\sin(x)$ تتراوح بين -3 و +3 بدلاً من -1 و +1

التمدد الرأسي

القاعدة الأساسية:

$g(x) = a \cdot f(x)$

حيث $a$ هو معامل التمدد الرأسي

الرسم البياني للتمدد الرأسي

معامل التمدد الرأسي (a):

القيمة: 1.0

مثال: التمدد الرأسي للدالة التربيعية

الدالة الأصلية:

f(x) = x^2

توسع رأسي بمعامل 3:

g(x) = 3x^2

كل نقطة على المنحنى تبتعد عن المحور السيني بمقدار 3 أضعاف

تضييق رأسي بمعامل 0.5:

h(x) = 0.5x^2

كل نقطة على المنحنى تقترب من المحور السيني إلى النصف

التمدد الأفقي

القاعدة الأساسية:

$g(x) = f(ax)$

حيث $a$ هو معامل التمدد الأفقي

الرسم البياني للتمدد الأفقي

معامل التمدد الأفقي (a):

القيمة: 1.0

مثال: التمدد الأفقي لدالة الجيب

الدالة الأصلية:

f(x) = \sin(x)

تضييق أفقي بمعامل 2:

g(x) = \sin(2x)

الدورة تكتمل في نصف المسافة الأصلية

توسع أفقي بمعامل 0.5:

h(x) = \sin(0.5x)

الدورة تحتاج إلى ضعف المسافة الأصلية

التمدد الرأسي والأفقي معاً

الصورة العامة:

$g(x) = A \cdot f(Bx)$

حيث $A$ معامل التمدد الرأسي و $B$ معامل التمدد الأفقي

التمدد المجتمع

التمدد الرأسي (A):

القيمة: 1.0

التمدد الأفقي (B):

القيمة: 1.0

أمثلة محلولة متنوعة

المثال الأول: دالة الجيب

المطلوب: اكتب معادلة الدالة الناتجة عن تطبيق توسع رأسي بمعامل 3 وتضييق أفقي بمعامل 2 على $f(x) = \sin(x)$

الحل:

f(x) = \sin(x)

تطبيق التوسع الرأسي (A = 3):

g(x) = 3\sin(x)

تطبيق التضييق الأفقي (B = 2):

g(x) = 3\sin(2x)

الإجابة النهائية:

g(x) = 3\sin(2x)

المدى: [-3, 3]، الدورة: $\pi$ بدلاً من $2\pi$

المثال الثاني: دالة الجذر التربيعي

المطلوب: حدد نوع التمدد في الدالة $g(x) = 0.5\sqrt{3x}$ بالمقارنة مع $f(x) = \sqrt{x}$

التحليل:

g(x) = 0.5\sqrt{3x} = 0.5 \cdot f(3x)

تحليل التمدد الرأسي:

A = 0.5 < 1

تضييق رأسي بمعامل 0.5

تحليل التمدد الأفقي:

B = 3 > 1

تضييق أفقي بمعامل 3

الإجابة:

تضييق رأسي بمعامل 0.5
تضييق أفقي بمعامل 3

المثال الثالث: دالة القيمة المطلقة

المطلوب: اكتب معادلة الدالة الناتجة عن توسع رأسي بمعامل 2.5 وتوسع أفقي بمعامل 3 لدالة $f(x) = |x|$

فهم المطلوب:

توسع رأسي بمعامل 2.5 → $A = 2.5$
توسع أفقي بمعامل 3 → $B = \frac{1}{3}$ (لأن العلاقة عكسية)

تطبيق القاعدة:

g(x) = A \cdot f(B \cdot x) = 2.5 \cdot |\frac{1}{3}x|

الإجابة النهائية:

g(x) = 2.5|x/3|

المثال الرابع: الدالة التربيعية

المطلوب: إذا كانت $g(x) = 4(0.5x)^2$ ، حدد التحويلات المطبقة على $f(x) = x^2$

إعادة كتابة الدالة:

g(x) = 4(0.5x)^2 = 4 \cdot 0.25x^2 = x^2

g(x) = 4 \cdot f(0.5x)

تحليل التمدد الرأسي:

A = 4 > 1

توسع رأسي بمعامل 4

تحليل التمدد الأفقي:

B = 0.5 < 1

توسع أفقي بمعامل 2 (العكس من 0.5)

الإجابة:

توسع رأسي بمعامل 4
توسع أفقي بمعامل 2

ملاحظة: النتيجة النهائية هي $g(x) = x^2$ ، نفس الدالة الأصلية!

ملخص التمدد والتضييق للدوال

التمدد الرأسي: $g(x) = a \cdot f(x)$ حيث $a > 1$ توسع و $0 < a < 1$ تضييق
التمدد الأفقي: $g(x) = f(ax)$ حيث $a > 1$ تضييق و $0 < a < 1$ توسع
التمدد المجتمع: $g(x) = A \cdot f(Bx)$ يجمع بين النوعين
نقطة مهمة: التمدد الأفقي له علاقة عكسية مع المعامل
تأثير على الخصائص: يغير المدى (رأسي) والدورة (أفقي)

التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال

التمدد الرأسي والأفقي للدوال

مفهوم أساسي

التمدد الرأسي

التمدد الأفقي

فهم تأثير التمدد على الأبعاد:

التمدد الرأسي

التمدد الأفقي

تفسير سلوك التمدد:

التمدد الأفقي: "السرعة الزمنية"

التمدد الرأسي: "تضخيم الاستجابة"

التمدد الرأسي

القاعدة الأساسية:

الرسم البياني للتمدد الرأسي

مثال: التمدد الرأسي للدالة التربيعية

التمدد الأفقي

القاعدة الأساسية:

الرسم البياني للتمدد الأفقي

مثال: التمدد الأفقي لدالة الجيب

التمدد الرأسي والأفقي معاً

الصورة العامة:

التمدد المجتمع

أمثلة محلولة متنوعة

المثال الأول: دالة الجيب

المثال الثاني: دالة الجذر التربيعي

المثال الثالث: دالة القيمة المطلقة

المثال الرابع: الدالة التربيعية

ملخص التمدد والتضييق للدوال

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات