الانحراف المعياري (Standard Deviation)

الشرح

الانحراف المعياري (Standard Deviation)

الموضوع: قياس تباعد القراءات عن المتوسط الحسابي

المفاهيم: الانحراف المعياري، التباعد، التباين

الهدف: فهم أهمية الانحراف المعياري ومتى نستخدمه

المقدمة

المتوسط الحسابي لا يكفي لوصف البيانات بشكل كامل
قدامنا ثلاث مجموعات من القراءات. كل المجموعات هذه لها نفس المعدل (المتوسط الحسابي) = 10

المجموعة الأولى: 10، 10، 10، 10
كل القراءات نفس الشيء

المجموعة الثانية: 8، 9، 11، 12
تفاوت بسيط بين القراءات

المجموعة الثالثة: 1، 4، 16، 19
تفاوت كبير بين القراءات
المشكلة:
المتوسط الحسابي يقول لنا إن كلهم نفس الشيء! كلهم معدلهم = 10

لكن واضح أن المجموعات مختلفة في مدى التفاوت والتباعد.

الحل:
نحتاج إلى قيمة غير المتوسط الحسابي تبين لنا:
• مدى التفاوت في الأرقام
• مدى بعد القراءات عن المعدل
• تباعد القراءات عن بعضها
الانحراف المعياري يقيس تباعد القراءات عن المتوسط الحسابي

1 تعريف الانحراف المعياري

الانحراف المعياري يقيس تباعد القراءات عن المتوسط الحسابي
1
المعادلة
معادلة الانحراف المعياري (Standard Deviation):

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}
حيث:
• \sigma = الانحراف المعياري (Standard Deviation)
• x_i = كل قراءة
• \bar{x} = المتوسط الحسابي (المعدل)
• n = عدد القراءات
2
خطوات الحساب
إذا فهمنا معنى الانحراف المعياري، سنقدر نتذكر معادلته بسهولة:

الخطوات:
• الخطوة 1: نطلع المتوسط الحسابي (المعدل)
• الخطوة 2: نأخذ كل قراءة ونطلع الفرق بينها وبين المعدل
• الخطوة 3: نربع الناتج
• الخطوة 4: نسوي نفس الشيء لكل قراءة ونجمع النواتج
• الخطوة 5: نقسم على عدد القراءات
• الخطوة 6: نأخذ الجذر التربيعي
الانحراف المعياري = جذر متوسط مربعات الفروق عن المعدل

2 المثال الأول: لا يوجد تباعد

عندما تكون كل القراءات متساوية
1
البيانات
المعطى: 10، 10، 10، 10
المطلوب: الانحراف المعياري

الخطوة 1: المتوسط الحسابي
\bar{x} = \frac{10 + 10 + 10 + 10}{4} = 10
الخطوة 2: الفرق بين كل قراءة والمعدل
• 10 - 10 = 0
• 10 - 10 = 0
• 10 - 10 = 0
• 10 - 10 = 0

البعد بين أي قراءة والمتوسط الحسابي = 0
الخطوة 3: نربع ونجمع
\sum (x_i - \bar{x})^2 = 0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0
الخطوة 4: نقسم على عدد القراءات ونأخذ الجذر
\sigma = \sqrt{\frac{0}{4}} = \sqrt{0} = 0
الانحراف المعياري = 0

إذا شفنا الانحراف المعياري = 0، معناها أن كل القراءات متساوية أو مطابقة للمتوسط الحسابي
الانحراف المعياري = 0 يعني لا يوجد أي تباعد في القراءات

3 المثال الثاني: تباعد بسيط

تفاوت بسيط بين القراءات
1
مثال كامل: 8، 9، 11، 12
المعطى: 8، 9، 11، 12
المطلوب: الانحراف المعياري

الخطوة 1: المتوسط الحسابي
\bar{x} = \frac{8 + 9 + 11 + 12}{4} = \frac{40}{4} = 10
الخطوة 2: الفرق بين كل قراءة والمعدل
• 8 - 10 = -2
• 9 - 10 = -1
• 11 - 10 = 1
• 12 - 10 = 2
الخطوة 3: نربع كل فرق
• (-2)² = 4
• (-1)² = 1
• (1)² = 1
• (2)² = 4
الخطوة 4: نجمع المربعات
\sum (x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 1 + 4 = 10
الخطوة 5: نقسم على عدد القراءات
\frac{10}{4} = 2.5
الخطوة 6: نأخذ الجذر التربيعي
\sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.58
الانحراف المعياري ≈ 1.58
تفاوت بسيط في القراءات → انحراف معياري صغير

4 المثال الثالث: تباعد كبير

تفاوت كبير بين القراءات
1
مثال: 1، 4، 16، 19
المعطى: 1، 4، 16، 19
المطلوب: الانحراف المعياري

ملاحظة: المتوسط الحسابي لهذه القراءات أيضاً = 10

نطبق نفس القاعدة:
• الفروق عن المعدل: -9، -6، 6، 9
• المربعات: 81، 36، 36، 81
• المجموع: 234
• القسمة على 4: 58.5
• الجذر التربيعي: √58.5

الانحراف المعياري ≈ 7.65

وهذا متوقع لأن تباعد القراءات أعلى!
2
الاستنتاج
من الأمثلة الثلاثة نستنتج:

كلما قلت قيمة الانحراف المعياري:
• معناها أن هناك تقارب للقراءات
• القراءات قريبة من المتوسط الحسابي
• القراءات قريبة من بعضها

كلما زادت قيمة الانحراف المعياري:
• معناها أن هناك تباعد للقراءات
• القراءات بعيدة عن المتوسط الحسابي
• القراءات متفرقة ومتباعدة
تباعد كبير في القراءات → انحراف معياري كبير

الملخص النهائي

المثال الأول

10، 10، 10، 10
↓
σ = 0
↓
لا يوجد تباعد

المثال الثاني

8، 9، 11، 12
↓
σ ≈ 1.58
↓
تباعد بسيط

المثال الثالث

1، 4، 16، 19
↓
σ ≈ 7.65
↓
تباعد كبير

النقاط الأساسية:

  • الانحراف المعياري يقيس مدى تباعد القراءات عن المتوسط الحسابي
  • انحراف معياري = 0 يعني كل القراءات متساوية
  • انحراف معياري صغير يعني القراءات متقاربة
  • انحراف معياري كبير يعني القراءات متباعدة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
6
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...