تعريف المصفوفات ورتبها

اختبر فهمك

ما هي رتبة المصفوفة التالية؟ [[1, 4, -4, 0], [-2, 3, 6, -8]]

أسئلة متوقعة

تمارين المصفوفات

مثال ١

تحديد رتبة المصفوفات

مثال ٢

تحديد عناصر المصفوفة

٣ و ٤

تنظيم البيانات

١ مثال ١ — تحديد رتبة المصفوفات

— حدد رتبة كل مصفوفة فيما يأتي:

١ — المصفوفة:

\begin{bmatrix} -9 & 6 \end{bmatrix}

— صف واحد وعمودان.

رتبة المصفوفة = 1×2

٢ — المصفوفة:

\begin{bmatrix} 15 & y \\ 8 & -9 \end{bmatrix}

— مصفوفة مربعة بصفين وعمودين.

رتبة المصفوفة = 2×2

٣ — المصفوفة:

\begin{bmatrix} 6 & 11 & -4 & -2 \\ -8 & 5 & -1 & 0 \end{bmatrix}

— صفان وأربعة أعمدة.

رتبة المصفوفة = 2×4

٤ — المصفوفة:

\begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ x & 3y & 0 \\ 8 & 12 & 11 \end{bmatrix}

— مصفوفة مربعة بثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة.

رتبة المصفوفة = 3×3

٥ — المصفوفة:

\begin{bmatrix} 2 \\ x \\ -3 \end{bmatrix}

— مصفوفة عمود: ثلاثة صفوف وعمود واحد.

رتبة المصفوفة = 3×1

٦ — المصفوفة:

\begin{bmatrix} 115 \end{bmatrix}

— صف واحد وعمود واحد فقط.

رتبة المصفوفة = 1×1

٢ مثال ٢ — تحديد عناصر المصفوفة

— إذا كانت المصفوفتان A وB كما يلي، فما قيمة كل عنصر مما يأتي:

A = \begin{bmatrix} 6 & y \\ -9 & 31 \\ 11 & 5 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} 10 & -8 & 2x \\ -2 & 19 & 4 \end{bmatrix}

a_{21}

الصف الثاني، العمود الأول من A

a₂₁ = −9

b_{22}

الصف الثاني، العمود الثاني من B

b₂₂ = 19

b_{13}

الصف الأول، العمود الثالث من B

b₁₃ = 2x

a_{12}

الصف الأول، العمود الثاني من A

a₁₂ = y

٣ مثال ٣ — تنظيم بيانات المسابقة

— نقاط ثلاثة طلاب في مسابقة علمية على 3 جولات:

الاسم	الجولة ١	الجولة ٢	الجولة ٣	المجموع
سعود	221	201	185	607
علي	168	233	159	560
مروان	187	189	211	587

الخطوة ١ — تحديد بنية المصفوفة:

الصفوف الطلاب الثلاثة

الأعمدة الجولات الثلاث

الرتبة 3×3

الخطوة ٢ — المصفوفة النهائية:

\begin{bmatrix} 221 & 201 & 185 \\ 168 & 233 & 159 \\ 187 & 189 & 211 \end{bmatrix}

مجموع كل صف = إجمالي نقاط كل طالب

سعود: 607 | علي: 560 | مروان: 587

مجموع كل عمود = إجمالي نقاط كل جولة

٤ مثال ٤ — مخازن التمور

المخزن ١ 2000 — 1200 — 500 kg

المخزن ٢ 3000 — 1175 — 2250 kg

المخزن ٣ 2750 — 1500 — 1700 kg

أ — تنظيم البيانات (الصفوف = أنواع التمور، الأعمدة = المخازن):

A = \begin{bmatrix} 2000 & 3000 & 2750 \\ 1200 & 1175 & 1500 \\ 500 & 2250 & 1700 \end{bmatrix}

ب — مجموع كل عمود (إجمالي كل مخزن):

المخزن ١ 2000+1200+500 = 3700 kg

المخزن ٢ 3000+1175+2250 = 6425 kg

المخزن ٣ 2750+1500+1700 = 5950 kg

ج — مجموع كل صف (إجمالي كل نوع تمر):

الخلاص 2000+3000+2750 = 7750 kg

البرحي 1200+1175+1500 = 3875 kg

السكري 500+2250+1700 = 4450 kg

مجموع الأعمدة = إجمالي كل مخزن

٣٧٠٠ | ٦٤٢٥ | ٥٩٥٠ kg

مجموع الصفوف = إجمالي كل نوع

خلاص: ٧٧٥٠ | برحي: ٣٨٧٥ | سكري: ٤٤٥٠ kg

٥ ملخص نتائج مخازن التمور

التحليل	النتيجة	التفسير
إجمالي المخزن ١	3,700 kg	أقل المخازن محتوى
إجمالي المخزن ٢	6,425 kg	أكبر المخازن محتوى
إجمالي المخزن ٣	5,950 kg	متوسط المحتوى
إجمالي الخلاص	7,750 kg	أكثر الأنواع توفراً
إجمالي البرحي	3,875 kg	أقل الأنواع توفراً
إجمالي السكري	4,450 kg	متوسط التوفر

٦ الخلاصة

— رتبة المصفوفة: تُقرأ دائماً بصيغة صفوف × أعمدة.

— ترقيم العناصر:

a_{ij}

يعني الصف

i

والعمود

j

— الصف أولاً دائماً.

— مصفوفة الصف: رتبتها 1×n — مصفوفة العمود: رتبتها n×1.

— مجموع الأعمدة: يعطي إجمالي كل فئة رأسية (مخزن، جولة...).

— مجموع الصفوف: يعطي إجمالي كل فئة أفقية (نوع، طالب...).

الشرح

المصفوفات — التعريف والعمليات

رتبة المصفوفة

صفوف × أعمدة

الجمع والطرح

شرطهما: نفس الرتبة

a_{ij}

صف

i

، عمود

j

١ تعريف المصفوفة

— المصفوفة هي ترتيب منتظم للأرقام أو الرموز في صفوف وأعمدة.

— تُكتب بين قوسين مربعين، وتُرمز بحرف كبير مثل A أو B.

— تُستخدم في حل أنظمة المعادلات وتنظيم البيانات والنمذجة الرياضية.

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

— العنصر

a_{ij}

يقع في الصف رقم

i

والعمود رقم

j

.
— مثال:

a_{23}

يعني العنصر في الصف الثاني، العمود الثالث.

٢ رتبة المصفوفة

— رتبة المصفوفة تُعبَّر عنها بصيغة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة.

— الصفوف هي الخطوط الأفقية، والأعمدة هي الخطوط العمودية.

مثال ١ — رتبة 2×4:

\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 0 \\ -2 & 3 & 6 & -8 \end{bmatrix}

مثال ٢ — رتبة 4×1 (مصفوفة عمود):

\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \\ -7 \end{bmatrix}

مثال ٣ — رتبة 3×2:

\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 9 \\ 17 & 21 \end{bmatrix}

٣ أنواع المصفوفات

المصفوفة المربعة — عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة:

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad 2 \times 2

مصفوفة الصف — صف واحد وعدة أعمدة:

\begin{bmatrix} 5 & 3 & 1 & 7 \end{bmatrix} \quad 1 \times 4

مصفوفة العمود — عمود واحد وعدة صفوف:

\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix} \quad 3 \times 1

٤ جمع المصفوفات

— شرط الجمع: يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة.

— طريقة الجمع: نجمع كل عنصر مع العنصر المقابل في نفس الموضع.

— رتبة الناتج تساوي رتبة المصفوفتين الأصليتين.

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{bmatrix}

مثال — جمع مصفوفتين 2×2:

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 11 & 3 \end{bmatrix}

— لا يمكن جمع مصفوفة 2×2 مع مصفوفة 2×3 لاختلاف الرتبة.

٥ طرح المصفوفات

— شرط الطرح: نفس شرط الجمع — يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة.

— نطرح كل عنصر من العنصر المقابل في نفس الموضع.

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a-e & b-f \\ c-g & d-h \end{bmatrix}

مثال — طرح مصفوفتين 2×3:

\begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 7 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}

٦ مثال تطبيقي — مخازن التمور

تنظيم بيانات ثلاثة مخازن:

المخزن الأول 2000 — 1200 — 500 kg

المخزن الثاني 3000 — 1175 — 2250 kg

المخزن الثالث 2750 — 1500 — 1700 kg

A = \begin{bmatrix} 2000 & 1200 & 500 \\ 3000 & 1175 & 2250 \\ 2750 & 1500 & 1700 \end{bmatrix}

رتبة المصفوفة: 3×3 (3 مخازن × 3 أنواع تمور)

إجماليات كل نوع

— إجمالي الخلاص: 2000 + 3000 + 2750 = 7750 kg

— إجمالي البرحي: 1200 + 1175 + 1500 = 3875 kg

— إجمالي السكري: 500 + 2250 + 1700 = 4450 kg

٧ ملخص المفاهيم

المفهوم	التعريف / الشرط	المثال
المصفوفة	ترتيب أرقام في صفوف وأعمدة	$A = [a_{ij}]$
رتبة المصفوفة	عدد الصفوف × عدد الأعمدة	$m \times n$
المصفوفة المربعة	عدد الصفوف = عدد الأعمدة	$n \times n$
الجمع	نفس الرتبة — العناصر المتقابلة	$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]$
الطرح	نفس الرتبة — العناصر المتقابلة	$A-B=[a_{ij}-b_{ij}]$
ترقيم العناصر	الصف $i$ ، العمود $j$	$a_{23}$ : صف ٢، عمود ٣