حل معادلات كثيرات الحدود

١ مجموع مكعبين والفرق بينهما

مجموع مكعبين

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

الفرق بين مكعبين

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها إلى كثيرتي حدود درجة كل منهما أقل من درجة كثيرة الحدود المُعطاة تسمى كثيرة حدود أولية.

٢ مثال 1 — تحليل مجموع مكعبين

العبارة

16x^4 + 54xy^3

أخرج العامل المشترك

2x(8x^3 + 27y^3)

اكتب كمجموع مكعبين

2x\bigl((2x)^3 + (3y)^3\bigr)

طبّق القانون

2x(2x+3y)\bigl((2x)^2-(2x)(3y)+(3y)^2\bigr)

16x^4 + 54xy^3 = 2x(2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)

أما العبارة

8y^3 + 5x^2

: الحد الثاني ليس مكعباً كاملاً، ولا يمكن تحليلها — فهي كثيرة حدود أولية.

٣ ملخص طرائق التحليل

عدد الحدود	طريقة التحليل	نموذج
أي عدد	إخراج العامل المشترك الأكبر	$4a^3b^2 - 8ab = 4ab(a^2b-2)$
حدّان	الفرق بين مربعين	$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
	مجموع مكعبين	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
	الفرق بين مكعبين	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
ثلاثة حدود	ثلاثية حدود المربع الكامل	$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
ثلاثة حدود	ثلاثية الحدود بالصورة العامة	$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$
أربعة حدود أو أكثر	تجميع الحدود	$ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)$

٤ مثال 2 — التحليل بتجميع الحدود

العبارة

8ax+4bx+4cx+6ay+3by+3cy

جمّع لإخراج العامل المشترك

(8ax+4bx+4cx)+(6ay+3by+3cy)

أخرج العامل الأكبر لكل تجميع

4x(2a+b+c)+3y(2a+b+c)

خاصية التوزيع

(4x+3y)(2a+b+c)

8ax+4bx+4cx+6ay+3by+3cy = (4x+3y)(2a+b+c)

٥ الصورة التربيعية

الصورة التربيعية لكثيرة الحدود هي: au² + bu + c حيث a، b، c أعداد حقيقية و a ≠ 0. يمكن تعريف u بدلالة x لكتابة بعض كثيرات الحدود على هذه الصورة.

12x^6 + 8x^3 + 1 = 3(2x^3)^2 + 4(2x^3) + 1

حيث u = 2x³

٦ مثال 5 — كتابة عبارات في الصورة التربيعية

العبارة

150n^8 + 40n^4 - 15

ابحث عن عاملَي 150 و 40 150 = 6×25 ، 40 = 8×5

لاحظ أن

25n^8 = (5n^4)^2

أعد الكتابة

6(5n^4)^2 + 8(5n^4) - 15

150n^8 + 40n^4 - 15 = 6(5n^4)^2 + 8(5n^4) - 15

حيث u = 5n⁴ — صورة تربيعية ✓

أما العبارة:

y^8 + 12y^3 + 8

لا يمكن كتابتها على الصورة التربيعية؛ لأن

y^8 \neq (y^3)^2

٧ رسم كثيرة الحدود وتحليلها

الجذور: —

نطاق العرض −6 إلى 6

٨ ملخص الدرس

— مجموع مكعبين: a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
— الفرق بين مكعبين: a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
— التحليل بالتجميع: جمّع الحدود ذات العامل المشترك ثم طبّق خاصية التوزيع.
— الصورة التربيعية: au² + bu + c حيث u دالة في x.
— إذا تعذّر التحليل فكثيرة الحدود أولية.

حل معادلات كثيرات الحدود

الشرح

حل معادلات كثيرات الحدود

دروس ذات صلة