دوال كثيرات الحدود
أسئلة متوقعة
تمارين — دوال كثيرات الحدود
الرياضيات — الفصل الثالث، الدرس 3-5
الهدف: تطبيق مهارة إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود عند متغير، وتقييم تعبيرات من دالتين مختلفتين خطوة بخطوة.
إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود عند متغير
— إذا كانت الدالة:
— أوجد قيمة:
الجزء أ — إيجاد قيمة f(3c − 4)
— الخطوة ١ — الدالة الأصلية:
— الخطوة ٢ — عوّض (3c − 4) بدلاً من x:
— الخطوة ٣ — اضرب (بسّط التربيع والضرب):
— الخطوة ٤ — بسّط الحدود المتشابهة:
f(3c − 4) = 9c2 − 18c + 5
الجزء ب — إيجاد قيمة 5f(c)
— الخطوة ١ — الدالة الأصلية:
— الخطوة ٢ — عوّض c بدلاً من x:
— الخطوة ٣ — طبّق خاصية التوزيع:
5f(c) = 5c2 + 10c − 15
الجزء ج — إيجاد f(3c − 4) − 5f(c)
— الخطوة ١ — عوّض النتيجتين:
— الخطوة ٢ — طبّق خاصية التوزيع (افتح القوس بإشارة سالبة):
— الخطوة ٣ — بسّط الحدود المتشابهة:
f(3c − 4) − 5f(c) = 4c2 − 28c + 20
إيجاد قيم دالة عند قيم عددية — w(5) و w(−4)
— إذا كانت الدالة:
— أوجد قيمتَي w(5) و w(−4).
الجزء أ — إيجاد w(5)
— الخطوة ١ — عوّض x = 5:
— الخطوة ٢ — احسب القوى:
— الخطوة ٣ — بسّط:
w(5) = −247
الجزء ب — إيجاد w(−4)
— الخطوة ١ — عوّض x = −4:
— الخطوة ٢ — احسب القوى:
— الخطوة ٣ — بسّط:
w(−4) = 104
تقييم تعبيرات من دالتين — c(x) و d(x)
— إذا كانت الدالتان:
— أوجد قيمة:
الجزء أ — إيجاد 6c(4a)
— الخطوة ١ — عوّض 4a بدلاً من x في c(x):
— الخطوة ٢ — احسب القوى:
— الخطوة ٣ — اضرب النتيجة في 6:
6c(4a) = 1536a3 − 480a2 + 12
الجزء ب — إيجاد 2d(3a − 5)
— الخطوة ١ — عوّض (3a − 5) بدلاً من x في d(x):
— الخطوة ٢ — بسّط التربيع والضرب:
— الخطوة ٣ — اضرب النتيجة في 2:
2d(3a − 5) = 54a2 − 144a + 70
الجزء ج — إيجاد 6c(4a) + 2d(3a − 5)
— الخطوة ١ — اجمع النتيجتين:
— الخطوة ٢ — اجمع الحدود المتشابهة:
= 1536a3 − 426a2 − 144a + 82
الخلاصة
— لإيجاد f(a): عوّض a بدلاً من x في كل حدود الدالة.
— لإيجاد k·f(a): أوجد f(a) أولاً ثم اضرب الناتج في k.
— لإيجاد f(a) ± g(b): احسب كلاً منهما منفردًا ثم اجمع أو اطرح.
— طبّق خاصية التوزيع عند فتح الأقواس، وانتبه لإشارة الطرح.
الشرح
دوال كثيرات الحدود
حيث n عدد صحيح غير سالب والمعاملات أعداد حقيقية والمعامل الرئيس aₙ ≠ 0
— الدرجة هي أكبر أس للمتغير في الحدود.
| كثيرة الحدود | النوع | الدرجة | المعامل الرئيس |
|---|---|---|---|
| 12 | ثابتة | 0 | 12 |
| 4x − 9 | خطية | 1 | 4 |
| 5x² − 6x − 9 | تربيعية | 2 | 5 |
| 8x³ + 12x² − 3x + 1 | تكعيبية | 3 | 8 |
مثال: درجة زوجية + معامل موجب
— كثيرة الحدود من الدرجة n لها على الأكثر n صفراً حقيقياً.
| المفهوم | القاعدة |
|---|---|
| كثيرة الحدود بمتغير واحد | جبرية aₙxⁿ+…+a₀ بمتغير واحد ومعاملات حقيقية |
| الدرجة | أكبر أس للمتغير بعد الترتيب القياسي |
| المعامل الرئيس | معامل الحد ذي أكبر أس ≠ 0 |
| درجة زوجية | ↑↑ أو ↓↓ (نفس الاتجاه) |
| درجة فردية | ↓↑ أو ↑↓ (اتجاهان مختلفان) |
| أصفار الدالة | فردية: عدد فردي — زوجية: عدد زوجي أو لا أصفار |
