العمليات على كثيرات الحدود

أسئلة متوقعة

حل بالخطوات — قوانين الأسس

العمليات على كثيرات الحدود — الفصل الثالث

بسّط العبارة

(2a^{-2})(3a^3b^2)(c^{-2})

الخطوة ١

— رتّب المعاملات والمتغيرات

= (2 \cdot 3)(a^{-2} \cdot a^3)(b^2)(c^{-2})

الخطوة ٢

— اضرب المعاملات واجمع الأسس

= 6 \cdot a^{-2+3} \cdot b^2 \cdot c^{-2}

الخطوة ٣

— بسّط الأسس

= 6a^{1}b^2c^{-2}

الإجابة النهائية

6ab² / c²

القانون: ضرب القوى: x^a · x^b = x^(a+b) — الأس السالب: x^(−a) = 1/x^a

بسّط العبارة

\dfrac{q^5 r^4}{q^7 r^3}

الخطوة ١

— فصل المتغيرات

= \dfrac{q^5}{q^7} \cdot \dfrac{r^4}{r^3}

الخطوة ٢

— اطرح الأسس

= q^{5-7} \cdot r^{4-3}

الخطوة ٣

— حوّل الأس السالب

= q^{-2} r = \dfrac{r}{q^2}

الإجابة النهائية

r / q²

القانون: قسمة القوى: x^a / x^b = x^(a−b) — الأس السالب: x^(−a) = 1/x^a

بسّط العبارة

\left(\dfrac{-2a^4}{b^2}\right)^3

الخطوة ١

— وزّع الأس 3 على البسط والمقام

= \dfrac{(-2a^4)^3}{(b^2)^3}

الخطوة ٢

— وزّع الأس على كل عامل في البسط

= \dfrac{(-2)^3 (a^4)^3}{(b^2)^3}

الخطوة ٣

— طبّق قوة القوة: اضرب الأسس

= \dfrac{-8 \cdot a^{12}}{b^6}

الإجابة النهائية

−8a¹² / b⁶

القانون: قوة القسمة — قوة الضرب — قوة القوة: (x^a)^b = x^(ab)

بسّط العبارة

(2x^{-3}y^3)(-7x^5y^6)

الخطوة ١

— رتّب المعاملات والمتغيرات

= (2 \cdot -7)(x^{-3} \cdot x^5)(y^3 \cdot y^6)

الخطوة ٢

— اضرب المعاملات واجمع الأسس

= -14 \cdot x^{-3+5} \cdot y^{3+6}

الخطوة ٣

— احسب الأسس

= -14x^2 y^9

الإجابة النهائية

−14x²y⁹

القانون: ضرب القوى: x^a · x^b = x^(a+b)

بسّط العبارة

\dfrac{15x^4y^7}{-3y}

الخطوة ١

— اقسم المعاملات أولاً

= \dfrac{15}{-3} \cdot \dfrac{x^4 y^7}{y^1}

الخطوة ٢

— اطرح الأسس للمتغيرات

= -5 \cdot x^4 \cdot y^{7-1}

الخطوة ٣

— النتيجة

= -5x^4 y^6

الإجابة النهائية

−5x⁴y⁶

القانون: قسمة القوى: x^a / x^b = x^(a−b)

بسّط العبارة

\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3}

الخطوة ١

— الأس السالب يقلب الكسر

= \left(\dfrac{4}{1}\right)^{3} = 4^3

الخطوة ٢

— احسب القوة

= 4 \times 4 \times 4 = 64

الإجابة النهائية

= 64

القانون: الأس السالب: (a/b)^(−n) = (b/a)^n

بسّط العبارة

(-2x^3y^2)^5

الخطوة ١

— وزّع الأس 5 على كل عامل

= (-2)^5 \cdot (x^3)^5 \cdot (y^2)^5

الخطوة ٢

— احسب كل جزء

= -32 \cdot x^{15} \cdot y^{10}

الخطوة ٣

— اكتب النتيجة

= -32x^{15}y^{10}

الإجابة النهائية

−32x¹⁵y¹⁰

القانون: قوة الضرب: (xy)^a = x^a·y^a — قوة القوة: (x^a)^b = x^(ab)

الشرح

العمليات على كثيرات الحدود

الجبر — الفصل الثالث

الهدف: تطبيق قوانين الأسس لضرب وقسمة وتبسيط كثيرات الحدود.

ضرب القوى

x^a · x^b = x^(a+b)

قسمة القوى

x^a / x^b = x^(a−b)

الأس السالب

x^(−a) = 1/x^a

ضرب القوى — نفس الأساس

— عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نجمع الأسس:

x^a \cdot x^b = x^{a+b}

أمثلة

— مثال ١:

3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6

— مثال ٢:

p^2 \cdot p^9 = p^{11}

قسمة القوى — نفس الأساس

— عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس، نطرح الأسس:

— الشرط:

x \neq 0

\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

أمثلة

— مثال ١:

\frac{9^6}{9^3} = 9^{6-3} = 9^3

— مثال ٢:

\frac{b^6}{b^4} = b^2

الأس السالب

— الأس السالب يعني مقلوب القوة الموجبة:

— الشرط:

x \neq 0

x^{-a} = \frac{1}{x^a}

أمثلة

3^{-8} = \frac{1}{3^8}

b^{-7} = \frac{1}{b^7}

قوة القوة — قوة الضرب — قوة القسمة

— قوة القوة: نضرب الأسس:

(x^a)^b = x^{ab}

— مثال:

(3^3)^3 = 3^9

(d^3)^4 = d^{12}

— قوة ناتج الضرب: نوزع الأس على كل عامل:

(xy)^a = x^a y^a

— مثال:

(2k)^4 = 2^4 k^4 = 16k^4

(ab)^3 = a^3 b^3

— قوة ناتج القسمة: نوزع الأس على البسط والمقام:

\left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a}

— مثال:

\left(\frac{x}{y}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2}

\left(\frac{a}{b}\right)^{-5} = \frac{b^5}{a^5}

— القوة الصفرية: أي عدد مرفوع للأس صفر يساوي 1:

x^0 = 1 \quad (x \neq 0)

— مثال:

7^0 = 1

تبسيط العبارات — أمثلة

مثال ١ — أ:

(2a^{-2})(3a^3b^2)(c^{-2})

— نجمع المعاملات أولاً:

= 6ab^2 \cdot \frac{1}{c^2}

= \frac{6ab^2}{c^2}

مثال ١ — ب:

\frac{q^5 r^4}{q^7 r^3}

— قسمة القوى (نطرح الأسس):

= q^{5-7} \cdot r^{4-3}

= q^{-2} r

= \frac{r}{q^2}

مثال ١ — ج:

\left(\frac{-2a^4}{b^2}\right)^3

— نوزع الأس 3 على كل عنصر:

= \frac{(-2)^3 (a^4)^3}{(b^2)^3}

= \frac{-8a^{12}}{b^6}

تحقق من فهمك

— بسّط كل عبارة:

(2x^{-3}y^3)(-7x^5y^6)

\frac{15x^4y^7}{-3y}

\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}

(-2x^3y^2)^5

ملخص قوانين الأسس

القانون	الصيغة	مثال
ضرب القوى	x^a · x^b = x^(a+b)	p² · p⁹ = p¹¹
قسمة القوى	x^a / x^b = x^(a−b)	b⁶/b⁴ = b²
الأس السالب	x^(−a) = 1/x^a	3^(−8) = 1/3⁸
قوة القوة	(x^a)^b = x^(ab)	(d³)⁴ = d¹²
قوة الضرب	(xy)^a = x^a · y^a	(2k)⁴ = 16k⁴
قوة القسمة	(x/y)^a = x^a/y^a	(a/b)^(−5) = b⁵/a⁵
القوة الصفرية	x^0 = 1	7^0 = 1