تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الأعداد المركبة والمستوى المركب

١ الوحدة التخيلية i

i = \sqrt{-1} \qquad i^2 = -1

الضرب في i = دوران 90° في المستوى المركب

i مرفوعة 1

i

زاوية 90°

i مرفوعة 2

-1

زاوية 180°

i مرفوعة 3

-i

زاوية 270°

i مرفوعة 4

1

زاوية 360°

٢ تعريف العدد المركب

z = x + yi

x = الجزء الحقيقي، y = الجزء التخيلي

y = 0 عدد حقيقي فقط

x = 0 عدد تخيلي بحت

x ≠ 0، y ≠ 0 عدد مركب

٣ الصيغة القطبية

z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)

القيمة المطلقة

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

الزاوية

\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)

الضرب اضرب |z| وأجمع الزوايا

القسمة اقسم |z| واطرح الزوايا

الأسس — ديمواهفر

[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

٤ المستوى المركب — تفاعلي

—

الجزء الحقيقي x3

الجزء التخيلي y4

٥ مثال ١ — التحويل إلى الصيغة القطبية ▼

المطلوب حوّل z = 3 + 4i إلى الصيغة القطبية

القيمة المطلقة

|z| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5

الزاوية

\theta = \arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right) \approx 53.13°

z = 5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)

٦ مثال ٢ — ضرب الأعداد المركبة ▼

z1

2(\cos 30° + i\sin 30°)

z2

3(\cos 45° + i\sin 45°)

اضرب |z|

2 \times 3 = 6

أجمع الزوايا

30° + 45° = 75°

z_1 \times z_2 = 6(\cos 75° + i\sin 75°)

٧ مثال ٣ — نظرية ديمواهفر ▼

المطلوب أوجد (1 + i) مرفوعة 8

حوّل إلى قطبية

|1+i| = \sqrt{2}, \quad \theta = 45°

1+i = \sqrt{2}(\cos 45° + i\sin 45°)

طبّق ديمواهفر

(\sqrt{2})^8 = 2^4 = 16

8 \times 45° = 360° = 0°

(1+i)^8 = 16(\cos 0° + i\sin 0°) = 16

٨ التطبيقات العملية

الهندسة الكهربائية

تحليل دوائر التيار المتردد

معالجة الإشارات

تحويل فورييه والصوت

ميكانيكا الكم

دالة الموجة

الديناميكا الهوائية

تحليل التدفق

الأعداد المركبة (2)

تعلمنا في الدرس السابق أن:

**√(-1) = i**

وبالتالي:

**i² = -1**

وهذه هي الخاصية الأساسية التي بُنيت عليها الأعداد المركبة.

فكرة المحور التخيلي

نعرف أن خط الأعداد الحقيقي يحتوي على:

- الأعداد الموجبة جهة اليمين. - الأعداد السالبة جهة اليسار.

ولو تأملنا العلاقة:

**i² = -1**

فيمكن تفسيرها هندسيًا على أنها دوران.

فإذا كان الضرب في **i** مرتين يعطينا **-1**، فهذا يشبه دورانًا مقداره **180°**.

إذن الضرب في **i** مرة واحدة يمثل دورانًا مقداره:

**90°**

ولهذا أضيف محور جديد عمودي على المحور الحقيقي يسمى:

**المحور التخيلي**

وأصبح لدينا مستوى يتكون من:

- المحور الأفقي: الأعداد الحقيقية. - المحور العمودي: الأعداد التخيلية.

الأعداد المركبة

العدد المركب هو عدد يتكون من:

- جزء حقيقي. - جزء تخيلي.

ويكتب بالصورة:

**a + bi**

حيث:

- **a** هو الجزء الحقيقي. - **b** هو معامل الجزء التخيلي. - **i** هو العدد التخيلي.

تمثيل الأعداد المركبة

على المحور الحقيقي نجد أعدادًا مثل:

- 2 - 3 - -2 - -4

وعلى المحور التخيلي نجد:

- i - 2i - 3i - -i - -2i

أما النقاط الواقعة داخل الأرباع، فتحتوي على جزء حقيقي وجزء تخيلي في الوقت نفسه.

فمثلًا إذا كانت النقطة:

- الجزء الحقيقي = 2 - الجزء التخيلي = 3

فإن العدد المركب هو:

**2 + 3i**

ولو كانت:

- الجزء الحقيقي = -2 - الجزء التخيلي = -3

فإن العدد المركب هو:

**-2 - 3i**

الصورة القطبية

كما يمكن تمثيل العدد المركب بالإحداثيات الديكارتية، يمكن أيضًا تمثيله بالصورة القطبية.

وللتحويل إلى الصورة القطبية نحتاج إلى إيجاد:

- القيمة المطلقة للعدد المركب. - الزاوية.

### أولًا: القيمة المطلقة

إذا كان:

**z = a + bi**

فإن القيمة المطلقة تساوي:

**|z| = √(a² + b²)**

وهي تمثل المسافة بين نقطة الأصل والعدد المركب.

### ثانيًا: الزاوية

إذا كان الجزء الحقيقي موجبًا (الربع الأول أو الرابع):

**θ = tan⁻¹(b / a)**

أما إذا كان الجزء الحقيقي سالبًا (الربع الثاني أو الثالث):

**θ = tan⁻¹(b / a) + 180°**

وذلك لاختيار الربع الصحيح، كما في الإحداثيات القطبية.

لماذا نستخدم الصورة القطبية؟

الصورة القطبية تجعل العمليات على الأعداد المركبة أسهل بكثير.

فعند ضرب عددين مركبين:

- نضرب القيم المطلقة. - ونجمع الزوايا.

وعند قسمة عددين مركبين:

- نقسم القيم المطلقة. - ونطرح الزوايا.

ولهذا السبب تُستخدم الصورة القطبية بكثرة في دراسة الأعداد المركبة والتطبيقات الهندسية.

ثالث ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

الأعداد المركبة (2) تعلمنا في الدرس السابق أن: **√(-1) = i** وبالتالي: **i² = -1** وهذه هي الخاصية الأساسية التي بُنيت عليها الأعداد المركبة. فكرة المحور… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الأعداد المركبة

الثانوية

الأعداد المركبة وخط الأعداد

الثانوية

ضرب الأعداد المركبة وقسمتها

الثانوية

الأعداد المركبة: جمعها وطرحها

الثانوية

ضرب الأعداد المركبة و قسمتها

الثانوية