ضرب الأعداد المركبة وقسمتها

١ القواعد الأساسية — ضرب وقسمة بالصيغة القطبية

الضرب — اضرب r وأجمع الزوايا

z_1 \times z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]

القسمة — اقسم r واطرح الزوايا

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)]

ضرب r

r_1 \times r_2

جمع الزوايا

\theta_1 + \theta_2

قسمة r

r_1 \div r_2

طرح الزوايا

\theta_1 - \theta_2

٢ لماذا الترتيب مهم في القسمة؟

sin — دالة فردية

\sin(-x) = -\sin(x)

cos — دالة زوجية

\cos(-x) = \cos(x)

عكس ترتيب الطرح يُغيّر الجزء التخيلي (sin) ولا يُغيّر الجزء الحقيقي (cos) — لذا الناتج يختلف كليًّا.

الضرب — الترتيب غير مهم رياضيًّا (الجمع تبادلي)

القسمة — الترتيب مهم جدًّا! دائمًا θ₁ − θ₂

٣ مثال ١ — الضرب ▼

z1

3(\cos 30° + i\sin 30°)

z2

5(\cos 45° + i\sin 45°)

اضرب r

r_1 \times r_2 = 3 \times 5 = 15

أجمع الزوايا

\theta_1 + \theta_2 = 30° + 45° = 75°

z_1 \times z_2 = 15(\cos 75° + i\sin 75°)

٤ مثال ٢ — القسمة ▼

z1

3(\cos 30° + i\sin 30°)

z2

5(\cos 45° + i\sin 45°)

اقسم r

\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5}

اطرح الزوايا

\theta_1 - \theta_2 = 30° - 45° = -15°

\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{5}[\cos(-15°) + i\sin(-15°)]

30° − 45° ≠ 45° − 30°

٥ جدول المقارنة

العملية	المسافة r	الزاوية	الترتيب
الضرب	$r_1 \times r_2$	$\theta_1 + \theta_2$	غير مهم
القسمة	$r_1 \div r_2$	$\theta_1 - \theta_2$	مهم جدًّا!

الشرح