الأعداد المركبة وخط الأعداد

١ من خط أحادي البعد إلى مستوى ثنائي الأبعاد

تعودنا على خط الأعداد: …، −2، −1، 0، 1، 2، … — كل شيء في بُعد واحد.

خط الأعداد

بُعد واحد — أعداد حقيقية فقط

بُعد ثانٍ

نضيف المحور التخيلي

المستوى المركب

مستوى ثنائي الأبعاد

المحور الأفقي الأعداد الحقيقية — زاوية 0° (موجبة) أو 180° (سالبة)

المحور العمودي الأعداد التخيلية — زاوية 90° (موجبة) أو −90° (سالبة)

داخل المستوى أعداد مركبة = a + bi

٢ المستوى المركب — تفاعلي

—

الجزء الحقيقي a3

الجزء التخيلي b2

٣ الصورة القطبية والديكارتية

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

الصيغة القياسية للعدد المركب بالصورة القطبية

الجزء الحقيقي

a = r\cos\theta

الجزء التخيلي

b = r\sin\theta

المسافة r

r = \sqrt{a^2 + b^2}

الزاوية

\theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)

—

المسافة r3

الزاوية °30

٤ مثال ١ — تحديد الجزأين الحقيقي والتخيلي ▼

العدد

z = 1 + 2i

الجزء الحقيقي

\text{Re}(z) = 1

الجزء التخيلي

\text{Im}(z) = 2

الموقع الربع الأول — النقطة (1, 2)

المسافة

r = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}

z = 1 + 2i → ربع أول، r = √5 ≈ 2.24

٥ مثال ٢ — تحويل قطبي إلى ديكارتي ▼

المعطى r = 2، θ = 30°

الجزء الحقيقي

a = 2\cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

الجزء التخيلي

b = 2\sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

z = \sqrt{3} + i

٦ الزوايا الخاصة في المستوى المركب ▼

الدوران عكس عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب للزوايا في المستوى المركب.

٧ ملخص — النقاط الرئيسية

الوحدة التخيلية

i = \sqrt{-1}, \quad i^2=-1

الصورة الديكارتية

z = a + bi

الصورة القطبية

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

التحويل

a=r\cos\theta, \quad b=r\sin\theta

الصيغة القطبية تسهّل الضرب والقسمة والرفع للأس — موضوع الدرس القادم

الشرح