شروط ضرب المصفوفات

شرط الضرب

أعمدة الأولى = صفوف الثانية

الداخلي

يجب أن يتساوى

الخارجي

أبعاد الناتج

٠ المقدمة — أبعاد المصفوفة

— أبعاد المصفوفة تُعبَّر بصيغة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة.

— الرقم الأول = الصفوف، الرقم الثاني = الأعمدة.

صفوف أعمدة

\underbrace{3} \times \underbrace{2} \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}

نكتب الأبعاد: (الصفوف × الأعمدة)

١ الشرط الأساسي لضرب المصفوفات

— عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية.

— الرقم $n$ يجب أن يتساوى في الوسط.

A_{m \times n} \times B_{n \times p}

يمكن الضرب:

3×2 × 2×3 الداخلي 2=2 ✓

3×2 × 2×4 الداخلي 2=2 ✓

3×2 × 2×1 الداخلي 2=2 ✓

لا يمكن الضرب:

3×2 × 3×4 الداخلي 2≠3 ✗

3×2 × 4×2 الداخلي 2≠4 ✗

النتيجة: أعمدة الأولى = صفوف الثانية

٢ أبعاد المصفوفة الناتجة

— أبعاد المصفوفة الناتجة = الأرقام الخارجية فقط.

— الصفوف من المصفوفة الأولى، والأعمدة من المصفوفة الثانية.

A_{m \times n} \times B_{n \times p} = C_{m \times p}

مثال — ضرب 3×2 في 2×4:

(3 \times 2) \times (2 \times 4) = (3 \times 4)

الأرقام الداخلية 2 = 2 ✓ يمكن الضرب

الأرقام الخارجية 3 و 4 — أبعاد الناتج

الناتج = (صفوف الأولى × أعمدة الثانية)

٣ حاسبة تفاعلية — فحص إمكانية الضرب

أدخل أبعاد المصفوفتين لفحص إمكانية الضرب وأبعاد الناتج.

A

×

B

×

٤ الطريقة المختصرة — داخلي وخارجي

— الخطوة ١: افحص الأرقام الداخلية — هل تتساوى؟

— الخطوة ٢: خذ الأرقام الخارجية — هذه أبعاد الناتج.

مثال ١:

(2 \times 3) \times (3 \times 5)

الداخلي 3 = 3 ✓ يمكن

الناتج 2×5

مثال ٢:

(4 \times 2) \times (3 \times 5)

الداخلي 2 ≠ 3 ✗ لا يمكن

مثال ٣:

(5 \times 4) \times (4 \times 1)

الداخلي 4 = 4 ✓ يمكن

الناتج 5×1

تحقق من الداخلي أولاً، ثم خذ الخارجي

٥ ملخص القواعد

المفهوم	القاعدة	المثال
شرط الضرب	أعمدة الأولى = صفوف الثانية	n = n في الوسط
الأرقام الداخلية	يجب أن تتساوى	(3×2)×(2×4) — 2=2 ✓
الأرقام الخارجية	أبعاد المصفوفة الناتجة	(3×2)×(2×4) → 3×4
المعادلة الشاملة	$(m{\times}n)\times(n{\times}p)=(m{\times}p)$	n يُلغى في الوسط

٦ الخلاصة

— شرط الضرب: عدد أعمدة الأولى يساوي عدد صفوف الثانية.

— الأرقام الداخلية: تحقق من تساويها أولاً — إن تساوت أمكن الضرب.

— الأرقام الخارجية: خذها مباشرة لتحصل على أبعاد الناتج.

— المعادلة:

(m \times n) \times (n \times p) = (m \times p)

اختبر فهمك

الشرح

شروط ضرب المصفوفات

حل بالخطوات