شروط ضرب المصفوفات

اختبر فهمك

اختبار: شروط ضرب المصفوفات

1
ما هو الشرط الأساسي لضرب مصفوفتين؟

الشرح

شروط ضرب المصفوفات

الموضوع: الشرط الأساسي لضرب مصفوفتين وتحديد أبعاد المصفوفة الناتجة

المفاهيم: أبعاد المصفوفة، الصفوف، الأعمدة، شرط الضرب، المصفوفة الناتجة

الهدف: فهم متى يمكن ضرب مصفوفتين وكيف نحدد أبعاد الناتج

المقدمة: أبعاد المصفوفة

أبعاد المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة
عندما نقول مصفوفة 3 \times 2 فهذا يعني:

• الرقم الأول (3): عدد الصفوف
• الرقم الثاني (2): عدد الأعمدة

مصفوفة 3 \times 2
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}
3 صفوف، عمودين
نكتب الأبعاد: (الصفوف × الأعمدة)

1 الشرط الأساسي لضرب المصفوفات

أعمدة المصفوفة الأولى = صفوف المصفوفة الثانية
1
الشرط
لكي نستطيع ضرب مصفوفتين:

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى
يجب أن يساوي
عدد الصفوف في المصفوفة الثانية

A_{m \times \color{red}{n}} \times B_{\color{green}{n} \times p}
الأعمدة في A = الصفوف في B
⚠️ إذا لم يتساوى العددان، فلا يمكن ضرب المصفوفتين
2
مثال توضيحي
لدينا مصفوفة 3 \times 2 (ثلاثة صفوف وعمودين)

السؤال: ما هي المصفوفات التي يمكن ضربها بهذه المصفوفة؟

الحل:
بما أن المصفوفة الأولى لها عمودين
إذاً المصفوفة الثانية يجب أن يكون لها صفين

✓ يمكن ضرب 3 \times 2 في 2 \times 3
✓ يمكن ضرب 3 \times 2 في 2 \times 4
✓ يمكن ضرب 3 \times 2 في 2 \times 5
✓ يمكن ضرب 3 \times 2 في 2 \times 1
✗ لا يمكن ضرب 3 \times 2 في 3 \times 4
✗ لا يمكن ضرب 3 \times 2 في 4 \times 2
الخلاصة: طالما صفوف المصفوفة الثانية = 2، فيمكن الضرب
النتيجة: أعمدة الأولى = صفوف الثانية

2 أبعاد المصفوفة الناتجة

الأبعاد الناتجة = الأرقام الخارجية
1
القاعدة
عندما نضرب مصفوفتين:

A_{\color{blue}{m} \times n} \times B_{n \times \color{blue}{p}} = C_{\color{blue}{m} \times \color{blue}{p}}
أبعاد المصفوفة الناتجة:
• الرقم الأول (m): من صفوف المصفوفة الأولى
• الرقم الثاني (p): من أعمدة المصفوفة الثانية

نأخذ الأرقام الخارجية فقط!
2
مثال تطبيقي
المثال: ضرب مصفوفة 3 \times 2 في مصفوفة 2 \times 4

\underbrace{(\color{blue}{3} \times \color{red}{2})}_{\text{المصفوفة الأولى}} \times \underbrace{(\color{red}{2} \times \color{blue}{4})}_{\text{المصفوفة الثانية}} = \underbrace{(\color{blue}{3} \times \color{blue}{4})}_{\text{المصفوفة الناتجة}}
التحليل:

الأرقام الخارجية:
3 و 4
(هذه أبعاد الناتج)
الأرقام الداخلية:
2 و 2
(يجب أن تتساوى)
النتيجة:
• الرقم الأول (3): عدد صفوف المصفوفة الناتجة
• الرقم الثاني (4): عدد أعمدة المصفوفة الناتجة

المصفوفة الناتجة أبعادها 3 \times 4
الناتج = (صفوف الأولى × أعمدة الثانية)

3 التمثيل البصري

طريقة سريعة لتحديد إمكانية الضرب
1
الطريقة المختصرة
\boxed{\color{blue}{\text{خارجي}}} \quad \color{red}{\text{داخلي}} \quad \times \quad \color{red}{\text{داخلي}} \quad \boxed{\color{blue}{\text{خارجي}}}
(\color{blue}{3} \times \color{red}{2}) \times (\color{red}{2} \times \color{blue}{4})
1️⃣ نفحص الأرقام الداخلية (2 و 2):
• إذا تساوت → يمكن الضرب ✓
• إذا لم تتساوى → لا يمكن الضرب ✗
2️⃣ نأخذ الأرقام الخارجية (3 و 4):
• هذه هي أبعاد المصفوفة الناتجة
• الناتج = 3 \times 4
2
أمثلة إضافية
مثال 1:
(\color{blue}{2} \times \color{red}{3}) \times (\color{red}{3} \times \color{blue}{5})
• الداخلي: 3 = 3 ✓ (يمكن الضرب)
• الناتج: 2 \times 5

مثال 2:
(\color{blue}{4} \times \color{red}{2}) \times (\color{red}{3} \times \color{blue}{5})
• الداخلي: 2 ≠ 3 ✗ (لا يمكن الضرب)

مثال 3:
(\color{blue}{5} \times \color{red}{4}) \times (\color{red}{4} \times \color{blue}{1})
• الداخلي: 4 = 4 ✓ (يمكن الضرب)
• الناتج: 5 \times 1
تحقق من الداخلي أولاً، ثم خذ الخارجي

الملخص النهائي

الشرط

أعمدة الأولى
=
صفوف الثانية
↓
يمكن الضرب

الأرقام الداخلية

يجب أن
تتساوى
↓
شرط الضرب

الأرقام الخارجية

نأخذها
↓
أبعاد الناتج
المعادلة الشاملة:
(m \times n) \times (n \times p) = (m \times p)

حيث يجب أن يتساوى n في الوسط

حل بالخطوات

1
فحص إمكانية الضرب: هل يمكن ضرب مصفوفة 3×2 في مصفوفة 2×4؟
2
فحص عدم إمكانية الضرب: هل يمكن ضرب مصفوفة 4×3 في مصفوفة 5×2؟
3
حساب أبعاد الناتج: إذا كانت A مصفوفة 5×3 و B مصفوفة 3×7، ما أبعاد A×B؟
4
مسألة عكسية: إذا كان ناتج الضرب مصفوفة 4×6، وكانت المصفوفة الأولى 4×؟، ما رتبة المصفوفة الثانية؟
5
سلسلة ضربات: هل يمكن حساب (A×B)×C حيث A(2×3)، B(3×4)، C(4×1)؟
6
حالات خاصة: متى يمكن حساب A² (مربع المصفوفة)؟

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
187
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...
شروط ضرب المصفوفات | أكاديمية موسى