طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3

اختبر فهمك

عشان نطلع محددة مصفوفة 3×3، إيش أول شي نسويه؟

أسئلة متوقعة

تمارين محددة المصفوفة 3×3

مثال ١

حالة عامة

مثال ٢

عنصر = صفر

٣ و ٤

أرقام سالبة

١ مثال ١ — حالة عامة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير (نمط + − +):

= 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}

+ 3 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

المحددات المساعدة:

م١ (4×0) − (1×2) = −2

م٢ (0×0) − (1×1) = −1

م٣ (0×2) − (4×1) = −4

التجميع النهائي:

= 2(-2) - 1(-1) + 3(-4)

= -4 + 1 - 12 = -15

المحددة = −15

٢ مثال ٢ — عنصر يساوي صفر

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}

+ 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}

— العنصر الثاني = 0، لذا الحد الثاني بالكامل = 0 ولا نحتاج لحسابه.

المحددات المساعدة:

م١ (1×0) − (1×4) = −4

م٣ (3×4) − (1×2) = 10

التجميع النهائي:

= 1(-4) - 0 + 2(10)

= -4 + 0 + 20 = 16

المحددة = 16

٣ مثال ٣ — عنصر سالب في الصف الأول

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}

+ 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

— تبسيط الإشارات: ناتج سالب × سالب = موجب، فالحد الثاني يصبح موجباً.

المحددات المساعدة:

م١ (0×−1) − (2×1) = −2

م٢ (1×−1) − (2×0) = −1

م٣ (1×1) − (0×0) = 1

التجميع النهائي:

= 2(-2) + 1(-1) + 3(1)

= -4 - 1 + 3 = -2

المحددة = −2

٤ مثال ٤ — محددات مساعدة متنوعة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}

+ 1 \times \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}

المحددات المساعدة:

م١ (−1×2) − (4×0) = −2

م٢ (0×2) − (4×5) = −20

م٣ (0×0) − (−1×5) = 5

التجميع النهائي:

= 3(-2) - 2(-20) + 1(5)

= -6 + 40 + 5 = 39

المحددة = 39

٥ ملخص النتائج

المثال	التجميع	المحددة
١	$-4 + 1 - 12$	−15
٢	$-4 + 0 + 20$	16
٣	$-4 - 1 + 3$	−2
٤	$-6 + 40 + 5$	39

٦ الخلاصة

— نمط الإشارات: الحد الأول موجب، الثاني سالب، الثالث موجب — دائماً.

— عنصر = 0: الحد بالكامل يُلغى ولا تحتاج لحساب محددته المساعدة.

— عنصر سالب: إشارة التطوير × إشارة العنصر تُعطيان الإشارة الصحيحة.

— التحقق: اجمع الحدود الثلاثة بعناية — الأخطاء الشائعة في الإشارات والجمع.

الشرح

محددة المصفوفة 3×3

+ − +

نمط الإشارات

2×2

المحددة المساعدة

رقم واحد

الناتج النهائي

١ التعريف والرمز

— محددة المصفوفة 3×3 تُرمز بـ $\det(A)$ أو بوضع الأرقام بين خطين عموديين.

— تُحوَّل إلى مجموع ثلاث محددات 2×2 عبر التطوير بحسب الصف الأول.

\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

المحددة 3×3 = مجموع (عنصر × محددة 2×2 مساعدة)

٢ الصيغة العامة

— نأخذ عناصر الصف الأول بالتناوب مع الإشارات:

+ \quad - \quad +

— لكل عنصر: نغطي صفه وعموده ونحسب محددة ما تبقى.

— الإشارة الثانية سالبة دائماً بغض النظر عن إشارة العنصر نفسه.

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

= a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}

+ c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

الحد الأول إشارة موجبة

الحد الثاني إشارة سالبة — لا تنساها

الحد الثالث إشارة موجبة

٣ طريقة إيجاد المحددات المساعدة

— المثال: نطبق على المصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الأول (1) — إشارة موجبة:

نغطي الصف الأول والعمود الأول:

+1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الثاني (2) — إشارة سالبة:

نغطي الصف الأول والعمود الثاني:

-2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الثالث (3) — إشارة موجبة:

نغطي الصف الأول والعمود الثالث:

+3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

نغطي الصف والعمود المقابل لكل عنصر ونحسب ما تبقى

٤ الحساب النهائي — المثال الكامل

المحددة الأولى:

\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

= (5 \times 9) - (6 \times 8)

= 45 - 48 = -3

المحددة الثانية:

\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

= (4 \times 9) - (6 \times 7)

= 36 - 42 = -6

المحددة الثالثة:

\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

= (4 \times 8) - (5 \times 7)

= 32 - 35 = -3

التجميع النهائي:

= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)

= -3 + 12 - 9 = 0

المحددة = 0

٥ حاسبة تفاعلية — أدخل مصفوفتك

أدخل عناصر المصفوفة 3×3 لحساب المحددة خطوة بخطوة.

٦ ملخص الخطوات

الخطوة	الإجراء	ملاحظة
١	العنصر الأول × محددته المساعدة	إشارة موجبة
٢	العنصر الثاني × محددته المساعدة	إشارة سالبة دائماً
٣	العنصر الثالث × محددته المساعدة	إشارة موجبة
٤	احسب كل محددة 2×2 بقانون	غطِّ الصف والعمود
٥	اجمع النتائج الثلاث	الناتج رقم واحد