طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3

اختبر فهمك

اختبار محددة المصفوفة 3×3

1

عشان نطلع محددة مصفوفة 3×3، إيش أول شي نسويه؟

أسئلة متوقعة

1

احسب محددة المصفوفة التالية:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

طريقة الحل

✅تطبيق التطوير بحسب الصف الأول

\det = 2 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix}

✅ملء المحددة الأولى (تغطية الصف الأول والعمود الأول)

2 \times \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}

نأخذ العناصر المتبقية بعد حذف الصف الأول والعمود الأول

✅ملء المحددة الثانية (تغطية الصف الأول والعمود الثاني)

-1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}

نأخذ العناصر المتبقية بعد حذف الصف الأول والعمود الثاني

✅ملء المحددة الثالثة (تغطية الصف الأول والعمود الثالث)

+3 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

نأخذ العناصر المتبقية بعد حذف الصف الأول والعمود الثالث

✅حساب المحددات 2×2

\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (4 \times 0) - (1 \times 2) = -2

\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \times 0) - (1 \times 1) = -1

\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 \times 2) - (4 \times 1) = -4

✅النتيجة النهائية

\det = 2(-2) - 1(-1) + 3(-4)

\det = -4 + 1 - 12 = -15

الإجابة النهائية:

\det = -15

2

احسب محددة المصفوفة التالية:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix}

طريقة الحل

✅تطبيق التطوير بحسب الصف الأول

\det = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}

✅ملاحظة: الحد الثاني يساوي صفر

بما أن العنصر الثاني في الصف الأول يساوي صفر
فإن الحد الثاني كاملاً يساوي صفر ولا نحتاج لحسابه

✅حساب المحددة الأولى

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = (1 \times 0) - (1 \times 4) = -4

✅حساب المحددة الثالثة

\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (3 \times 4) - (1 \times 2) = 12 - 2 = 10

✅النتيجة النهائية

\det = 1(-4) - 0 + 2(10)

\det = -4 + 0 + 20 = 16

الإجابة النهائية:

\det = 16

3

احسب محددة المصفوفة التالية:

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}

طريقة الحل

✅تطبيق التطوير بحسب الصف الأول

\det = 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

✅تبسيط الإشارات

\det = 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

ملاحظة:

-(-1) = +1

✅حساب المحددة الأولى

\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (0 \times (-1)) - (2 \times 1) = 0 - 2 = -2

✅حساب المحددة الثانية

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (1 \times (-1)) - (2 \times 0) = -1 - 0 = -1

✅حساب المحددة الثالثة

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1) - (0 \times 0) = 1 - 0 = 1

✅النتيجة النهائية

\det = 2(-2) + 1(-1) + 3(1)

\det = -4 - 1 + 3 = -2

الإجابة النهائية:

\det = -2

4

احسب محددة المصفوفة التالية:

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{vmatrix}

طريقة الحل

✅تطبيق التطوير بحسب الصف الأول

\det = 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}

✅حساب المحددة الأولى

\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = ((-1) \times 2) - (4 \times 0) = -2 - 0 = -2

✅حساب المحددة الثانية

\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (0 \times 2) - (4 \times 5) = 0 - 20 = -20

✅حساب المحددة الثالثة

\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = (0 \times 0) - ((-1) \times 5) = 0 + 5 = 5

✅النتيجة النهائية

\det = 3(-2) - 2(-20) + 1(5)

\det = -6 + 40 + 5 = 39

الإجابة النهائية:

\det = 39

الشرح

محددة مصفوفة 3×3

الموضوع: حساب محددة المصفوفة من الدرجة الثالثة

المفاهيم: تطوير المحددة، طريقة المعاملات المساعدة، محددات 2×2

الهدف: إتقان حساب محددة المصفوفة 3×3 باستخدام التطوير

1 مقدمة في محددة المصفوفة 3×3

للمصفوفة:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

1

المحددة ورمزها

\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

2

طريقة الحساب

نستخدم طريقة التطوير بحسب الصف الأول
نحول المحددة 3×3 إلى مجموع محددات 2×2

المحددة 3×3 = مجموع (عنصر × معامل مساعد)

2 الطريقة خطوة بخطوة

مثال:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

1

ننزل الرقم الأول ونعمل محددة 2×2 فارغة

1 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix}

2

نضع علامة سالب ونضع الرقم الثاني

1 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix}

3

نضع علامة زائد ونضع الرقم الثالث

1 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{vmatrix}

نقطة مهمة:

تذكر علامة السالب في الحد الثاني - مهمة جداً!

النمط: زائد - سالب - زائد

3 ملء المحددات 2×2

نرجع للمحددات الفارغة ونملأها

1

المحددة الأولى: نغطي الصف الأول والعمود الأول

1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

نأخذ ما تبقى بعد تغطية الصف والعمود

2

المحددة الثانية: نغطي الصف الأول والعمود الثاني

-2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

نأخذ ما تبقى بعد تغطية الصف والعمود

3

المحددة الثالثة: نغطي الصف الأول والعمود الثالث

+3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

نأخذ ما تبقى بعد تغطية الصف والعمود

الآن لدينا ثلاث محددات 2×2 لحسابها

4 الحساب النهائي

نحسب كل محددة 2×2 ونجمع النتائج

1

حساب المحددة الأولى

\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (5 \times 9) - (6 \times 8) = 45 - 48 = -3

2

حساب المحددة الثانية

\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (4 \times 9) - (6 \times 7) = 36 - 42 = -6

3

حساب المحددة الثالثة

\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = (4 \times 8) - (5 \times 7) = 32 - 35 = -3

4

النتيجة النهائية

\det = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)

\det = -3 + 12 - 9 = 0

النتيجة النهائية:

\det = 0

5 الصيغة العامة

1

صيغة عامة للمحددة 3×3

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

2

نمط الإشارات

الحد الأول: إشارة موجبة
الحد الثاني: إشارة سالبة
الحد الثالث: إشارة موجبة

نصائح مهمة:

• تذكر نمط الإشارات: + - +

• اغط الصف والعمود المقابل لكل عنصر

• احسب محددة 2×2 بدقة

• تأكد من الضرب في الأرقام الصحيحة

• راجع العمليات الحسابية

• يمكن التطوير بحسب أي صف أو عمود

حل بالخطوات

1

حساب محددة المصفوفة 3×3:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix}

2

حساب محددة مصفوفة بها أصفار:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}

3

حساب محددة مصفوفة الهوية 3×3:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

4

حساب محددة مع عناصر سالبة:

\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & -5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix}

5

حساب محددة لإيجاد مساحة المثلث: النقاط (1,2), (3,4), (5,1):

6

تحديد قابلية العكس للمصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا

👨‍💻

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3 | أكاديمية موسى