محددة مصفوفة 2x2

اختبر فهمك

ما الشرط الأساسي لحساب محددة المصفوفة؟

أسئلة متوقعة

تمارين محددة المصفوفة 2×2

مثال ١

أرقام موجبة

٢ و ٣

أرقام سالبة

مثال ٤

وجود صفر

١ مثال ١ — أرقام موجبة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}

نطبق القانون:

\det = ad - bc

القطر الرئيسي 3 × 4 = 12

القطر الثانوي 2 × 1 = 2

\det = 12 - 2 = 10

المحددة = 10

٢ مثال ٢ — رقم سالب في القطر الثانوي

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}

القطر الرئيسي 5 × 1 = 5

القطر الثانوي (−2) × 3 = −6

\det = 5 - (-6) = 5 + 6 = 11

— سالب ناقص سالب = سالب زائد موجب: علامة الطرح مع القطر الثانوي السالب تُعطي جمعاً.

المحددة = 11

٣ مثال ٣ — أرقام سالبة في القطرين

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}

القطر الرئيسي (−3) × (−1) = 3

القطر الثانوي 4 × 2 = 8

\det = 3 - 8 = -5

— سالب × سالب = موجب. المحددة قد تكون سالبة وهذا طبيعي تماماً.

المحددة = −5

٤ مثال ٤ — وجود صفر في المصفوفة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}

القطر الرئيسي 6 × 5 = 30

القطر الثانوي 0 × 2 = 0

\det = 30 - 0 = 30

— أي عدد مضروب في الصفر = صفر. وجود الصفر يُلغي القطر الثانوي تلقائياً.

المحددة = 30

٥ ملخص النتائج

المثال	المصفوفة	الحساب	المحددة
١	$\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}$	$12 - 2$	10
٢	$\begin{vmatrix}5&-2\\3&1\end{vmatrix}$	$5-(-6)$	11
٣	$\begin{vmatrix}-3&4\\2&-1\end{vmatrix}$	$3 - 8$	−5
٤	$\begin{vmatrix}6&0\\2&5\end{vmatrix}$	$30 - 0$	30

٦ الخلاصة

— القانون دائماً:

\det = ad - bc

— القطر الرئيسي ناقص القطر الثانوي.

— سالب ناقص سالب: ينقلب إلى جمع —

5 - (-6) = 11

— سالب × سالب: ينتج موجباً —

(-3)\times(-1) = 3

— وجود الصفر: يُلغي القطر الثانوي تلقائياً ويُبسّط الحساب.

الشرح

محددة المصفوفة 2×2

ad

القطر الرئيسي — يُجمع

bc

القطر الثانوي — يُطرح

رقم واحد

الناتج النهائي

١ المصفوفة المربعة والمحددة

— لحساب المحددة، يجب أن تكون المصفوفة مربعة: عدد الصفوف = عدد الأعمدة.

— المحددة دائماً تُعطي رقماً واحداً ثابتاً، ليس مصفوفة.

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \qquad \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}

إذا det = 0 لا يوجد نظير ضربي

استخدامات حل أنظمة المعادلات والنظير الضربي

٢ طريقة الأقطار

— القطر الرئيسي: من اليسار العلوي إلى اليمين السفلي — يُضرب ويُجمع.

— القطر الثانوي: من اليمين العلوي إلى اليسار السفلي — يُضرب ويُطرح.

— علامة السالب قبل القطر الثانوي جزء أصيل من القانون.

\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

القطر الرئيسي ناقص القطر الثانوي

٣ مثال ١ — أرقام موجبة

— أوجد محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}

القطر الرئيسي 2 × 3 = 6

القطر الثانوي 4 × 1 = 4

\det = 6 - 4 = 2

المحددة = 2

٤ مثال ٢ — مع أرقام سالبة

— أوجد محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}

القطر الرئيسي 2 × 3 = 6

القطر الثانوي (−4) × 1 = −4

\det = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10

— سالب ناقص سالب = سالب زائد موجب: القطر الثانوي كان سالباً فأصبح موجباً عند الطرح.

المحددة = 10

٥ حاسبة تفاعلية — أدخل مصفوفتك

أدخل عناصر المصفوفة 2×2 لرؤية الأقطار وحساب المحددة.

٦ خصائص مهمة للمحددة

المفهوم	التعريف	ملاحظة
القطر الرئيسي	$a \times d$	يُجمع دائماً
القطر الثانوي	$b \times c$	يُطرح دائماً
القانون	$\det = ad - bc$	رقم ثابت واحد
شرط الحساب	مصفوفة مربعة	صفوف = أعمدة
حالة خاصة	$\det = 0$	لا يوجد نظير ضربي