الجذر النوني

١ تعريف الجذر النوني

\sqrt[n]{b} = a \quad \Longleftrightarrow \quad a^n = b

لأيّ عددين حقيقيين a، b ولأيّ عدد صحيح n أكبر من 1

— إيجاد الجذر التربيعي لعدد هو عملية عكسية لتربيعه.
— بالمثل، إيجاد الجذر النوني هو العملية العكسية لرفع عدد لقوة (n).

القوى	العوامل	الجذر
$x^3 = 64$	4 × 4 × 4 = 64	$\sqrt[3]{64} = 4$
$x^4 = 625$	5 × 5 × 5 × 5 = 625	$\sqrt[4]{625} = 5$
$x^5 = 32$	2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32	$\sqrt[5]{32} = 2$
$a^n = b$	$a \cdot a \cdot \ldots \cdot a = b$	$\sqrt[n]{b} = a$

— الرمز المستخدم للجذر النوني هو رمز الجذر مع الدليل n في الأعلى.

الدليل ما تحت الجذر

٢ الجذر الرئيس والجذور المتعددة

بعض الأعداد لها أكثر من جذر نوني حقيقي. الجذر الموجب هو الجذر الرئيس.

\sqrt{25} = 5

الجذر التربيعي الرئيس للعدد 25

-\sqrt{25} = -5

النظير الجمعي للجذر الرئيس

\pm\sqrt{25} = \pm 5

كلا الجذرين التربيعيين

(-3)^4 = 81 \implies \sqrt[4]{81} = 3

مثال: −3 هو جذر رابع للعدد 81

٣ الجذر النوني الحقيقي — حالات

a	n عدد زوجي	n عدد فردي
$a > 0$	جذر موجب وجذر سالب واحد لكل منهما؛ الجذر الموجب هو الرئيس	جذر حقيقي موجب وحيد
$a < 0$	ليس هناك جذر حقيقي	جذر حقيقي سالب وحيد
$a = 0$	$\sqrt[n]{0} = 0$

— إذا كان دليل الجذر زوجياً وأسّ ما تحت الجذر زوجياً وكان الناتج فردياً، يجب أخذ القيمة المطلقة.

٤ مثال 1 — إيجاد الجذور وتبسيطها

٥ مثال 2 — التبسيط باستعمال القيمة المطلقة

٦ ملخص الدرس

— الجذر النوني: ⁿ√b = a إذا وفقط إذا كان aⁿ = b.
— الجذر الرئيس هو الجذر الحقيقي غير السالب.
— n زوجي + a > 0: جذران حقيقيان (موجب وسالب).
— n زوجي + a < 0: لا جذور حقيقية.
— n فردي: دائماً جذر حقيقي وحيد.
— إذا كان الدليل زوجياً والأس فردياً: استعمل القيمة المطلقة.

الشرح

الجذر النوني