في هذا الدرس راح نتعلم الاحتمال المشروط

$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

✅ شرح القاعدة:

$P(A\cap B)$

$P(A)$

دائمًا:

الحدث المعلوم هو A

الحدث المطلوب هو B

الشرط الأساسي: الحدثين لازم يكونون مرتبطين (يعني غير مستقلين)، عشان يصير للتقاطع معنى

✅ معلومة مهمة:

لو كانت A ما تؤثر على B، أو ما بينهم علاقة، يكونوا مستقلين، وهنا الاحتمال المشروط ما له فائدة

لكن إذا كان A يؤثر على B، فالاحتمال المشروط يعطينا معلومات أكثر دقة

✅ مثال توضيحي:

عندنا وعاء فيه 4 كور:

كورتين صغيرة: لونهم أصفر وأخضر

كورتين كبيرة: لونهم أحمر وأزرق

نبغى نعرف احتمال سحب الكورة الزرقاء:

$P(\text{زرقاء})=\frac{1}{4}$

لأن فيه وحدة زرقاء فقط من بين 4 كور

ثانيًا: احتمال مشروط:

ما هو احتمال أن نسحب الكورة الزرقاء "علماً بأن" الكورة كبيرة؟

$P(\text{زرقاء}\mid \text{كبيرة})=\frac{P(\text{زرقاء}\cap \text{كبيرة})}{P(\text{كبيرة})}$

✅ نحسب البسط (تقاطع الحدثين):

$P(\text{زرقاء}\cap \text{كبيرة})=\frac{1}{4}$

✅ نحسب المقام (احتمال الكورة تكون كبيرة):

$P(\text{كبيرة})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

✅ نعوض في القانون:

$P(\text{زرقاء}\mid \text{كبيرة})=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$