✅ الجذر التربيعي للسالب واحد (i):

نعلم أن $i=\sqrt{-1}$

بالتالي: $i\times i=-1$

✅ تمثيل الأعداد على خط الأعداد المعتاد:

نرسم خطًا أفقيًا بحيث:

الصفر (0) في المنتصف.

الأعداد الموجبة إلى اليمين.

* الأعداد السالبة إلى اليسار.

إذا ضربنا أي عدد حقيقي في $i$ مرّتين، فإنّ ذلك يعادل الدوران بمقدار $180^{\circ }$ لأنّ $i^2=-1$ (أي الانتقال من الجهة اليمنى إلى الجهة اليسرى).

إذا ضربنا العدد في $i$ مرة واحدة فقط، فهذا يعادل دورانًا بمقدار $90^{\circ }$.

✅ إضافة المحور التخيلي (محور $y$) إلى خط الأعداد:

نرسم محورًا عموديًا يمرّ بنقطة الصفر، فيصبح لدينا نظام الإحداثيات الديكارتي:

المحور الأفقي ($x$) → يمثل الأعداد الحقيقية.

* المحور العمودي ($y$) → يمثل الأعداد التخيليّة.

عندها:

$i$ يُمثّل دورانًا بزاوية $90^{\circ }$ من المحور الحقيقي نحو الأعلى.

* $-1$ (أي $i\times i$) يُمثّل دورانًا بزاوية $180^{\circ }$ إلى الجهة اليسرى.

✅ مفهوم الأعداد المركّبة:

تعريفها:

الأعداد المركبة هي أعداد تتكوّن من جزأين:

جزء حقيقي $x$ (مثل: $2$، $-3$، $4$، …).

* جزء تخيلي $y$ مضروب في $i$ (مثل: $i$، $2i$، $-3i$، …).

* نمثّل العدد المركّب في المستوى الديكارتي كنقطة $(x,y)$.

أمثلة على الأعداد المركّبة:

* إذا كانت النقطة $(2,3)$، فإنّ العدد هو $2+3i.$

* إذا كانت النقطة $(-2,-3)$، فإنّ العدد هو $-2-3i.$

الفئات ضمن المستوى:

* المحور الأفقي (حيث $y=0$) يحتوي على الأعداد الحقيقية الخالصة، مثل $2$، $-4$.

* المحور العمودي (حيث $x=0$) يحتوي على الأعداد التخيليّة الخالصة، مثل $i$، $-2i$.

* النقاط غير الواقعة على المحاور هي أعداد مركّبة أصلًا (لها جزآن حقيقي وتخيلي معًا).

✅ التحويل من الصيغة “الديكارتية” إلى الصيغة “القطبية”:

إذا كان لدينا العدد المركب $z=x+yi,$ فإننا في الصيغة الديكارتية نمثّله كـ $(x,y)$.

نحسب القيمة المطلقة $|z|$ (التي تمثّل “المسافة” من نقطة $(x,y)$ إلى الصفر): $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

نحسب الزاوية $\theta$ (مقاسة بالدّرجات أو بالراديان) بين القطعة الواصل بين $(0,0)$ و$(x,y)$ والمحور الأفقي:

* إذا كان $x>0$ (ربع أول أو رابع)، فإنّ: $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right).$

* إذا كان $x<0$ (ربع ثاني أو ثالث)، نضيف $180^{\circ }$ إلى القيمة السابقة: $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+180^{\circ }.$

عندها يصبح ثابتًا أن أي عدد مركّب يُمكن كتابته بالصورة القطبية: $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta ).$

✅ لماذا نستخدم الصيغة القطبية للأعداد المركّبة؟

تسهّل عمليات الضرب والقسمة:

1. إذا كان $z_1=r_1(\cos \alpha +i\sin \alpha ),z_2=r_2(\cos \beta +i\sin \beta ),$ فإن:

$z_1\times z_2=r_1{r}_2(\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta ))$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos (\alpha -\beta )+i\sin (\alpha -\beta ))$

2. يعني عند الضرب؛ “نضرب القيم المطلقة ثم نجمع الزوايا”. وعند القسمة؛ “نقسم القيم المطلقة ثم نطرح الزوايا”.

تُسهل أيضًا رفع القوى العليا (نظرية ديمواهفر):

إذا $z=r(\cos \theta +i\sin \theta ),$ فإنّ $z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )).$