✅ مراجعة ضرب الأعداد المركبة:

$z_1=R_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$

$z_2=R_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$

$z_1\cdot z_2=R_1{R}_2\left(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\right)$

✅ الحين نبدأ بالأسس (الأسس الصحيحة):

### لو بغينا نربع عدد مركب:

$z^2={\left(R(\cos \theta +i\sin \theta )\right)}^2=R^2\left(\cos (2\theta )+i\sin (2\theta )\right)$

### لو بغينا نرفعه للأس 3:

$z^3=R^3\left(\cos (3\theta )+i\sin (3\theta )\right)$

✅ هذا اللي يسمى: نظرية دي موافر (De Moivre’s Theorem):

$z=R(\cos \theta +i\sin \theta )$

$z^n=R^n\left(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )\right)$

✅ مثال تطبيقي:

عندنا عدد مركب:

$z=7(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })$

نبي نحسب:

$z^{15}$

### نطبّق القانون:

$7^{15}$

$15\cdot 30^{\circ }=450^{\circ }$

$450^{\circ }=360^{\circ }+90^{\circ }$

### النتيجة النهائية:

$z^{15}=7^{15}\left(\cos (450^{\circ })+i\sin (450^{\circ })\right)$

$\cos (450^{\circ })=0$

$\sin (450^{\circ })=1$

---------------------

✅ النتيجة:

$z^{15}=7^{15}\cdot i$

يعني الناتج عدد تخيلي نقي على المحور التخيلي الموجب.