في هذا الدرس راح نتعلم دالة الظل (التان)، وهي:

$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$

ولنفهم هذه الرسمة، دعونا نذهب إلى دائرة الوحدة، ونرى ما يعني $\sin (\theta )$ تقسيم $\cos (\theta )$ في دائرة الوحدة

في دائرة الوحدة:

$\sin (\theta )$ عبارة عن قيمة المحور $y$

* $\cos (\theta )$ عبارة عن قيمة المحور $x$

✅ رسم دالة التان:

عندما تأخذ الزاوية $\theta$ من $0^{\circ }$ إلى $90^{\circ }$:

* البسط $\sin (\theta )$ يبدأ من $0$ ويرتفع حتى يصل إلى $1$ عند $\theta =90^{\circ }$

* المقام $\cos (\theta )$ يبدأ من $1$ وينخفض حتى يصل إلى $0$ عند $\theta =90^{\circ }$

كل القيم هنا موجبة، فنسجل منحنى التان في الربع الأول من المستوى (القيم الموجبة)

عندما $\theta =0^{\circ }$، $\sin (0^{\circ })=0$ فتصبح قيمة الدالة $\tan (0^{\circ })=0$

* عندما $\theta =90^{\circ }$، $\cos (90^{\circ })=0$ فتصبح $\tan (90^{\circ })\to \infty$

عندما تأخذ $\theta$ من $0^{\circ }$ إلى $-90^{\circ }$ (الربع الرابع من دائرة الوحدة):

* عند $\theta =0^{\circ }$ تبدأ من $0$ كما السابق

* $\sin (\theta )$ ينخفض حتى يصل إلى $-1$ عند $\theta =-90^{\circ }$

* $\cos (\theta )$ يبقى موجب

* لذا في هذه المرحلة $\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$ يساوي قيمة سالبة → نسجل المنحنى في الربع الرابع (القيم السالبة)

* عندما $\theta =-90^{\circ }$، $\cos (-90^{\circ })=0$ فتصبح $\tan (-90^{\circ })\to -\infty$

تتكرر هذه العملية في الفترات التالية كل $180^{\circ }$:

* في الربع الثاني ($90^{\circ }$ إلى $180^{\circ }$)، $\sin (\theta )$ موجب و$\cos (\theta )$ سالب → $\tan (\theta )$ سالبة → نرسم في الربع الثاني (سالبة) حتى $\theta =180^{\circ }$ حيث $\sin (180^{\circ })=0$ فيكون $\tan (180^{\circ })=0$

* في الربع الثالث ($180^{\circ }$ إلى $270^{\circ }$)، $\sin (\theta )$ وسالب و$\cos (\theta )$ سالب → $\tan (\theta )$ موجب → نرسم في الربع الثالث (موجبة) حتى $\theta =270^{\circ }$ حيث $\cos (270^{\circ })=0$ فيكون $\tan (270^{\circ })\to \infty$

* وهكذا تستمر الدورة نفسها كل $180^{\circ }$

✅ طول الدورة (Period):

طول الدورة لدالة الظل هو كل $180^{\circ }$

* بمعنى أن $\tan (\theta +180^{\circ })=\tan (\theta )$

✅ السعة (Amplitude):

غير معرّفة، لأن $\tan (\theta )$ تذهب إلى $+\infty$ وعندها إلى $-\infty$ ولا توجد قيمة عظمى أو صغرى محدودة

✅ المجال (Domain):

جميع الأعداد الحقيقية $\theta$ باستثناء الزوايا التي تُؤدي إلى انقسام على الصفر في المقام:

$\theta \ne 90^{\circ }+180^{\circ }\cdot n,n\in \mathbb{Z}$

* أي $\theta \ne 90^{\circ },270^{\circ },450^{\circ },\dots$

✅ النطاق (Range):

جميع الأعداد الحقيقية

$\tan (\theta )\in \mathbb{R}$

✅ ملخص سلوك الدالة:

تبدأ من قيمة $0$ عند $\theta =0^{\circ }$

تصعد تدريجيًا إما لتقترب من $+\infty$ أو $-\infty$ عندما يقترب $\theta$ من الزاوية التي تجعل $\cos (\theta )=0$

تتكرر هذه الدورة كل $180^{\circ }$ على الشكل التالي:

* من $0^{\circ }$ إلى $90^{\circ }$: من $0$ إلى $+\infty$

* من $90^{\circ }$ إلى $180^{\circ }$: من $-\infty$ إلى $0$

* من $180^{\circ }$ إلى $270^{\circ }$: من $0$ إلى $+\infty$

وهكذا…

بهذا تكون رسمنا كامل سلوك دالة الظل عبر دورات متكررة كل $180^{\circ }$