شرح كيف نتخيل التكامل بالرسم – التفاضل والتكامل

التكامل — المساحة تحت المنحنى

الموضوع: فهم التكامل كمساحة متراكمة تحت المنحنى وكيف تبني دالة التكامل

الدوال: ، ، ،

الهدف: ربط التكامل بالتطبيقات العملية وفهم العلاقة بين الدالة ودالة التكامل

١ أهداف الدرس

فهم معنى التكامل كمساحة تحت المنحنى
تتبع كيف تبني المساحة التراكمية دالة التكامل
فهم العلاقة بين الدالة الأصلية ودالة التكامل
ربط التكامل بالتطبيقات العملية

٢ ما هو التكامل؟

التكامل هو المساحة تحت منحنى الدالة، أو بمعنى آخر، هو التراكم التدريجي لقيم الدالة.

التكامل يجيب على الأسئلة التالية:

ما هي المساحة الكلية تحت المنحنى من نقطة البداية حتى x؟
كيف تتراكم القيم مع الزمن أو المسافة؟
ما هو المجموع الكلي للتغيرات الصغيرة؟

حيث

هي دالة التكامل (المساحة التراكمية)

٣ بناء دالة التكامل خطوة بخطوة

شاهد كيف تتراكم المساحة تحت المنحنى لتكوين دالة التكامل

الدالة الأصلية f(x) المساحة تحت المنحنى دالة التكامل F(x)

دالة ثابتة: f(x) = 3

دالة خطية: f(x) = 2x

دالة تربيعية: f(x) = (x² − 4)/4

دالة جيبية: f(x) = sin(x)

٤ فهم العلاقة: الدالة والتكامل

الدالة f(x)	التكامل F(x)	المعنى
موجبة	يزداد ↑	المساحة الموجبة تضيف للتكامل
سالبة	يتناقص ↓	المساحة السالبة تطرح من التكامل
صفر	ثابت ◼	لا توجد مساحة للإضافة

٥ مثال: الحركة والمسافة

إذا كانت

هي السرعة، فإن التكامل

يعطي المسافة المقطوعة

· السرعة الموجبة = حركة للأمام (مساحة تُضاف)
· السرعة السالبة = حركة للخلف (مساحة تُطرح)
· المسافة الكلية = مجموع المساحات الموجبة والسالبة

٦ أمثلة محلولة

تكامل دالة ثابتة١

أوجد

تكامل دالة خطية٢

أوجد

تطبيق عملي — السرعة والمسافة٣

إذا كانت سرعة جسم

متر/ثانية، أوجد المسافة المقطوعة من

إلى

ثوان.

ملاحظة مهمة: التكامل هو العملية العكسية للتفاضل. إذا كانت

، فإن

حيث

ثابت التكامل.

كيف نتخيل التكامل بالرسم