أعظم مفهوم للتكامل و التفاضل و علاقتهم بالدالة الأصلية

أعظم مفهوم في التفاضل والتكامل

الموضوع: العلاقة بين دالة ما وتكاملها ومشتقتها — ثلاث طبقات تصف نفس الحركة

المثال: سيارة تسير بسرعة $f(x) = \sin(x)$ — ما مسافتها؟ وما تسارعها؟

الهدف: فهم كيف يكشف التكامل التراكم والمشتقة تكشف معدل التغير لنفس الدالة

١ الصورة الكاملة — ثلاث طبقات

الطبقة العليا

التكامل

F(x) = -\cos(x)

التراكم · المسافة المقطوعة

↕

الطبقة الوسطى

دالة السرعة

f(x) = \sin(x)

الدالة الأصلية

↕

الطبقة السفلى

المشتقة

f'(x) = \cos(x)

معدل التغير · التسارع

٢ دالة السرعة $f(x) = \sin(x)$

تخيّل سيارة تسير بهذه السرعة:
① من البداية: السرعة سالبة — السيارة تمشي عكس الاتجاه
② تصل السرعة إلى قاعها

-1

عند

x = -\tfrac{\pi}{2}

— أقصى سرعة في العكس
③ تتباطأ لين تقف عند

x = 0

— السرعة = صفر، وقوف تام
④ تنطلق للأمام، تصل ذروة السرعة

+1

عند

x = \tfrac{\pi}{2}

⑤ تتباطأ مجددًا لين تقف عند

x = \pi

النقطة المحورية: المساحة تحت المنحنى من

-\pi

إلى

0

سالبة (مشي عكس)، والمساحة من

0

إلى

\pi

موجبة ومساوية لها — أي رجعت السيارة لنقطة الأصل تماماً.

٣ التكامل — المسافة المتراكمة $F(x) = -\cos(x)$

تكامل السرعة = المسافة

\displaystyle F(x) = \int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C

ماذا يخبرنا $F(x)$ ؟
— طالما السرعة سالبة (تحت المحور)، التراكم يزيد سلبًا —

F(x)

تنزل
— عند

x = 0

: السرعة = صفر —

F(x)

وصلت أدنى نقطة (لا تراكم جديد)
— بعد الصفر: السرعة موجبة —

F(x)

تعود للارتفاع
— عند

x = \pi

: رجعنا للقيمة الأصلية — السيارة في نقطة الأصل

٤ المشتقة — معدل التغير $f'(x) = \cos(x)$

مشتقة السرعة = التسارع

f'(x) = \dfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)

ماذا يخبرنا $\cos(x)$ ؟
— المشتقة لا تهتم إن الدالة فوق أو تحت المحور — تهتم فقط بـ هل تتزايد أم تتناقص
— حيث

\sin(x)

في تزايد:

\cos(x) > 0

— حيث

\sin(x)

في تناقص:

\cos(x) < 0

— عند القمة أو القاع:

\cos(x) = 0

— لا تغير لحظي

لماذا المشتقة لا تهتم بالثابت $C$ ؟
لو رفعنا الدالة بأكملها للأعلى (

\sin x + 5

) أو للأسفل (

\sin x - 3

)، معدل التغير لا يتغير — ولهذا مشتقة أي ثابت = صفر.

٥ الربط بين الثلاثة

الموقع في $\sin(x)$	التكامل $F(x)$	المشتقة $f'(x)$
الدالة تتناقص (سالبة)	يضيف تراكمات سالبة — $F$ تنزل	سالبة
وصلت القاع ( $x=−\tfrac{\pi}{2}$ )	أدنى نقطة في $F$	= صفر
الدالة تتزايد (موجبة)	يضيف تراكمات موجبة — $F$ ترتفع	موجبة
وصلت القمة ( $x=\tfrac{\pi}{2}$ )	أعلى نقطة في $F$	= صفر

القاعدة الذهبية: قمم وقيعان

f(x)

= أصفار

f'(x)

— وأصفار

f(x)

= قمم وقيعان

F(x)

٦ الخلاصة

ما تعلمناه:
— التكامل يسأل: كم تراكم حتى الآن؟ — يرى المساحة تحت المنحنى
— المشتقة تسأل: ما معدل التغير الآن؟ — لا تهتم بالموقع بل بالميل
— قمم وقيعان الدالة الأصلية هي بالضبط أصفار مشتقتها
— أصفار الدالة الأصلية هي قمم وقيعان تكاملها
— مشتقة أي ثابت = صفر لأن الثابت لا يغير معدل التغير