مفهوم الانحراف المعياري

١ التعريف والمعادلة

المتوسط الحسابي وحده لا يكفي — مجموعات مختلفة قد تشترك في نفس المتوسط لكن تختلف في مدى تباعد قيمها.

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}

σ = الانحراف المعياري — x̄ = المتوسط — n = عدد القيم

σ = 0

كل القيم متساوية

σ صغير

قيم متقاربة من المتوسط

σ كبير

قيم متباعدة عن المتوسط

٢ خطوات الحساب

الخطوة ١احسب المتوسط x̄

الخطوة ٢اطرح المتوسط من كل قيمة

الخطوة ٣ارفع كل فرق للمربع

الخطوة ٤اجمع جميع المربعات

الخطوة ٥اقسم على n

الخطوة ٦خذ الجذر التربيعي

٣ مثال ١ — مجموعتان بنفس المتوسط ▼

أ: {0، 1، 1، 1، 1، 2} — ب: {−20، −20، −14، 20، 20، 20}

المتوسطان

\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 1

σ — المجموعة أ

\sigma_1 = \sqrt{\frac{2}{6}} \approx 0.58

σ — المجموعة ب

\sigma_2 = \sqrt{\frac{2190}{6}} \approx 19.1

نفس المتوسط (1) — لكن σ مختلف تمامًا: 0.58 مقابل 19.1

٤ مثال ٢ — درجات 8 طلاب ▼

الدرجات: {85، 90، 78، 92، 88، 76، 94، 87}

المتوسط

\bar{x} = \frac{690}{8} = 86.25

الدرجة	الفرق	المربع
85	−1.25	1.56
90	3.75	14.06
78	−8.25	68.06
92	5.75	33.06
88	1.75	3.06
76	−10.25	105.06
94	7.75	60.06
87	0.75	0.56
المجموع	—	285.5

الانحراف

\sigma = \sqrt{\frac{285.5}{8}} \approx 5.97

المتوسط = 86.25 — معظم الدرجات ضمن 6 نقاط من المتوسط

٥ مثال ٣ — مقارنة فصلين دراسيين ▼

الفصل الأول{68, 70, 69, 71, 72, 70}

الفصل الثاني{50, 60, 70, 80, 90, 70}

المتوسطان

\bar{x}_1 = \bar{x}_2 = 70

σ الفصل الأول

\sigma_1 = \sqrt{\frac{10}{6}} \approx 1.29

σ الفصل الثاني

\sigma_2 = \sqrt{\frac{1000}{6}} \approx 12.91

σ₁ ≈ 1.29 طلاب متجانسون | σ₂ ≈ 12.91 طلاب متفاوتون

٦ مثال ٤ — أوقات الوصول للعمل ▼

الأوقات بالدقائق: {25، 30، 28، 35، 32}

المتوسط

\bar{x} = \frac{150}{5} = 30

الوقت	الفرق	المربع
25	−5	25
30	0	0
28	−2	4
35	5	25
32	2	4
المجموع	—	58

الانحراف

\sigma = \sqrt{\frac{58}{5}} \approx 3.41

المتوسط = 30 دقيقة — σ ≈ 3.41 — الموظف منتظم نسبيًا

٧ الخلاصة

σ	التفسير	مثال
= 0	لا يوجد تباعد	{10، 10، 10}
صغير	قيم متقاربة — بيانات متجانسة	فصل دراسي منتظم
كبير	قيم متباعدة — بيانات متشتتة	دخول متفاوتة جدًا

التعليم

تجانس مستوى الطلاب

الجودة

انتظام الإنتاج

الاقتصاد

قياس التفاوت

الطب

تحليل الفحوصات

مفهوم الانحراف المعياري

الشرح

الانحراف المعياري — درس شامل