الاحتمال المشروط

الشرح

الاحتمال المشروط

١ التعريف والقانون الأساسي

الاحتمال المشروط هو احتمال وقوع حدث B بشرط علمنا المسبق بوقوع حدث A.

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \quad P(A) \neq 0

يُقرأ: احتمال B بشرط A

قانون الضرب

P(A \cap B) = P(B|A)\cdot P(A)

قانون بايز

P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}

أحداث مستقلة

P(B|A) = P(B)

٢ ملخص القوانين

القانون	الصيغة	الاستخدام
المشروط الأساسي	$P(B\|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$	احتمال B بشرط A
الضرب	$P(A\cap B)=P(B\|A)\cdot P(A)$	حساب التقاطع
الاحتمال الكلي	$P(B)=\sum P(B\|A_i)\cdot P(A_i)$	حساب B بعدة مسارات
بايز	$P(A\|B)=\frac{P(B\|A)\cdot P(A)}{P(B)}$	عكس الاحتمال المشروط

٣ حاسبة الاحتمال المشروط

P(A ∩ B) = P(A) =

٤ مثال ١ — الكرات الملونة ▼

وعاء يحتوي على 4 كرات: أصفر صغيرة، أخضر صغيرة، أحمر كبيرة، أزرق كبيرة. ما احتمال سحب الأزرق علمًا بأن الكرة كبيرة؟

التقاطع — كبيرة وزرقاء

P(A \cap B) = \tfrac{1}{4}

P(كبيرة)

P(A) = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}

القانون

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{2}

P = \frac{1}{2} = 50\%

ارتفع الاحتمال من ¼ إلى ½ بسبب المعلومة الإضافية

٥ مثال ٢ — أوراق اللعب ▼

من 52 ورقة — ما احتمال أن تكون الورقة ملكًا علمًا بأنها ورقة وجه؟

A = وجه

P(A) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}

التقاطع

P(A\cap B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

القانون

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{13}}{\tfrac{3}{13}} = \frac{1}{3}

P = \frac{1}{3} \approx 33.3\%

٦ مثال ٣ — الطلاب والمواد ▼

60% يدرسون رياضيات، 40% فيزياء، 25% كليهما. إذا كان الطالب يدرس رياضيات — ما احتمال أن يدرس فيزياء أيضًا؟

P(M)0.60

P(M ∩ F)0.25

القانون

P(F|M) = \frac{0.25}{0.60} = \frac{5}{12}

P \approx 41.7\%

٧ مثال ٤ — النرد المتتالي ▼

نرد مرتان. ما احتمال أن يكون المجموع 8 علمًا بأن النرد الأول أكبر من 3؟

P(A) — النرد الأول > 3

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

P(A ∩ B) — مجموع 8 والأول > 3

(4,4)، (5,3)، (6,2) — ثلاث حالات من 36

P(A\cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

القانون

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{12}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{6}

P = \frac{1}{6} \approx 16.7\%

٨ مثال ٥ — المرض والفحص (بايز) ▼

مرض نادر: 1% من السكان. دقة الفحص 95% للمريض، 10% إيجابية كاذبة للسليم. فحص إيجابي — ما احتمال أن يكون مريضًا فعلًا؟

P(D)0.01

P(T+|D)0.95

P(T+|Dᶜ)0.10

P(T+) الكلي

P(T+) = 0.95\times0.01 + 0.10\times0.99

= 0.0095 + 0.099 = 0.1085

بايز

P(D|T+) = \frac{0.95\times0.01}{0.1085} = \frac{0.0095}{0.1085}

P \approx 8.8\%

رغم دقة الفحص، الاحتمال منخفض بسبب ندرة المرض

٩ مثال ٦ — خطوط الإنتاج (بايز) ▼

3 خطوط إنتاج: L1=50%، L2=30%، L3=20%. نسب العيب: 2%، 3%، 5%. وجد منتج معيب — ما احتمال أن يكون من L2؟

P(D) الكلي

P(D) = 0.02\times0.5 + 0.03\times0.3 + 0.05\times0.2

= 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029

بايز للخط الثاني

P(L_2|D) = \frac{0.03\times0.3}{0.029} = \frac{0.009}{0.029}

P \approx 31.0\%

ثالث ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...