الاحتمال المشروط من زاوية مختلفة

١ القوانين الأساسية

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

القانون الأساسي — احتمال B بشرط A

P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}

قانون بايز — لعكس اتجاه الاحتمال المشروط

P(B) = \sum_{i} P(B|A_i)\cdot P(A_i)

قانون الاحتمال الكلي

المبدأ الذهبي: كلما كان الحدث المعلوم أندر، كلما أعطانا معلومات أقوى عن الأحداث الأخرى.

٢ أداة تفاعلية — الكرات الملونة

صندوق يحتوي على كرات كبيرة (واحدة زرقاء) وكرات صغيرة. ما احتمال الكرة الزرقاء علمًا بأنها كبيرة؟

عدد الكرات الكبيرة2

عدد الكرات الصغيرة2

—

٣ مثال ١ — المرض النادر ▼

مرض يصيب 1%. الفحص: 95% دقة للمريض، 5% إيجابية كاذبة. فحص إيجابي — ما احتمال المرض؟

P(مرض)0.01

P(إيجابي|مريض)0.95

P(إيجابي|سليم)0.05

P(إيجابي) الكلي

= 0.95\times0.01 + 0.05\times0.99

= 0.0095 + 0.0495 = 0.059

بايز

P = \frac{0.95\times0.01}{0.059} = \frac{0.0095}{0.059}

P \approx 16.1\%

رغم دقة الفحص، معظم النتائج الإيجابية كاذبة بسبب ندرة المرض

٤ مثال ٢ — العملات المزيفة ▼

3 عملات: عادية، مزيفة (وجهان صورة)، مزيفة (وجهان كتابة). رُميت عملة وظهرت صورة — ما احتمال أن تكون العادية؟

P(صورة|عادية)

\frac{1}{2}

P(صورة|صورة-صورة)

1

P(صورة|كتابة-كتابة)

0

P(صورة) الكلي

= \tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{3} + 1\times\tfrac{1}{3} + 0\times\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{2}

بايز

P(\text{عادية}|\text{صورة}) = \frac{\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{3}

P = \frac{1}{3} \approx 33.3\%

٥ مثال ٣ — نظام إنذار الحريق ▼

احتمال الحريق 0.1% يوميًا. دقة الإنذار 99%، إنذار كاذب 1%. رن الإنذار — ما احتمال وجود حريق فعلي؟

P(حريق)0.001

P(إنذار|حريق)0.99

P(إنذار|لا حريق)0.01

P(إنذار) الكلي

= 0.99\times0.001 + 0.01\times0.999

= 0.00099 + 0.00999 = 0.01098

بايز

P = \frac{0.99\times0.001}{0.01098}

P \approx 9\%

91% من أصوات الإنذار إنذارات كاذبة بسبب ندرة الحرائق

٦ تطبيقات الاحتمال المشروط

الطب

تفسير نتائج الفحوصات

الأمان

أنظمة الإنذار والكشف

الذكاء الاصطناعي

التعلم الآلي والتصنيف

الاقتصاد

تحليل المخاطر

الشرح