تجربة ذات الحدين

١ التعريف والشروط

نتيجتان فقط

نجاح أو فشل

محاولات ثابتة

عدد n محدد مسبقاً

احتماليات ثابتة

p و q لا تتغير

محاولات مستقلة

كل محاولة مستقلة

٢ القانون الأساسي

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{\,n-k}

حيث q = 1 − p

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

قانون التوافيق

nعدد المحاولات

kعدد النجاحات المطلوبة

pاحتمالية النجاح في المحاولة الواحدة

q = 1−pاحتمالية الفشل

E(X) = npالقيمة المتوقعة

Var(X) = npqالتباين

٣ مثال أساسي — رمي العملة 6 مرات ▼

رمي عملة معدنية 6 مرات — ما احتمالية الحصول على الصورة 3 مرات بالضبط؟

المتغيرات

n=6, k=3, p=1/2, q=1/2

التوافيق

\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!\,3!} = 20

الحساب

P(X=3) = 20 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}

P(X=3) = 5/16 = 0.3125 = 31.25%

٤ مثال ١ — النرد (الرقم 6 مرتين من 4 رميات) ▼

المتغيرات

n=4, k=2, p=1/6, q=5/6

القانون

P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\tfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\tfrac{5}{6}\right)^2

الحساب

= 6 \cdot \tfrac{1}{36} \cdot \tfrac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}

P(X=2) = 25/216 ≈ 11.57%

٥ مثال ٢ — الامتحان (3 صح من 5 أسئلة) ▼

طالب يخمن 5 أسئلة، 4 خيارات لكل سؤال — احتمالية 3 صح؟

المتغيرات

n=5, k=3, p=1/4, q=3/4

الحساب

P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\tfrac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = 10 \cdot \tfrac{1}{64} \cdot \tfrac{9}{16} = \frac{45}{512}

P(X=3) = 45/512 ≈ 8.79%

٦ مثال ٣ — كرة السلة (5 من 6 رميات) ▼

لاعب احتمالية تسجيله 80% — 6 رميات حرة — احتمالية 5 تسجيلات؟

المتغيرات

n=6, k=5, p=0.8, q=0.2

الحساب

P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1 = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 \approx 0.3932

P(X=5) ≈ 39.32%

٧ مثال ٤ — الطيران P(X ≤ 2) من 10 رحلات ▼

احتمالية التأخر 15% — 10 رحلات — احتمالية التأخر مرتين أو أقل؟

المطلوب

P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0)

\binom{10}{0}(0.15)^0(0.85)^{10} \approx 0.1969

P(X=1)

10 \cdot 0.15 \cdot (0.85)^9 \approx 0.3474

P(X=2)

45 \cdot (0.15)^2 \cdot (0.85)^8 \approx 0.2759

المجموع

0.1969 + 0.3474 + 0.2759 = 0.8202

P(X ≤ 2) = 0.8202 = 82.02%

٨ حاسبة ذات الحدين

عدد المحاولات n

عدد النجاحات k

احتمالية النجاح p

أدخل القيم واضغط احسب

٩ الخلاصة

الرمز	المعنى	القانون
$P(X=k)$	احتمالية k نجاح	$\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$
$\binom{n}{k}$	التوافيق	$\frac{n!}{k!(n-k)!}$
p + q	مجموع الاحتماليات	1
$E(X)$	القيمة المتوقعة	$np$
$\text{Var}(X)$	التباين	$npq$