التحويلات الهندسية مع القيمة المطلقة
الدالة |x²−9| موجبة دائماً، مع قمة جديدة عند (0,9)
sin(|x|): دالة زوجية متناظرة حول محور y
|f(x)|: تضمن أن الدالة موجبة دائماً — f(|x|): تجعل الدالة زوجية فقط
وهذا هو تعريف الدالة الزوجية
التحويلات الهندسية باستخدام القيمة المطلقة
في هذا الدرس سنتعرف على التحويلات الهندسية باستخدام **القيمة المطلقة**، وسنرى كيف يختلف شكل الدالة باختلاف مكان وضع القيمة المطلقة.
لدينا حالتان أساسيتان:
- وضع القيمة المطلقة على **كامل معادلة الدالة**. - وضع القيمة المطلقة على **المتغير \(x\) فقط**.
والفرق بين هاتين الحالتين يؤدي إلى تحويلين هندسيين مختلفين تمامًا.
الحالة الأولى: القيمة المطلقة على كامل الدالة
في هذه الحالة نفرض القيمة المطلقة على الناتج بالكامل، مثل:
\[ y=|f(x)| \]
أو مثل:
\[ y=|\sin(x)| \]
وفي هذه الحالة نرسم الدالة الأصلية أولًا، ثم ننظر إلى الجزء الواقع أسفل محور \(x\).
أي جزء تكون فيه قيم الدالة سالبة يتم عكسه إلى أعلى حول محور \(x\)، بينما يبقى الجزء الموجب كما هو دون أي تغيير.
ماذا يحدث إذا كانت الدالة كلها موجبة؟
إذا كانت الدالة كلها فوق محور \(x\)، فلن يتغير شكلها بعد وضع القيمة المطلقة.
فعلى سبيل المثال، إذا كانت:
\[ y=\sin(x)+2 \]
فإن جميع قيم الدالة موجبة، لذلك:
\[ |\sin(x)+2| \]
سيكون له نفس الرسم البياني تمامًا، لأن القيمة المطلقة لا تؤثر إلا على القيم السالبة.
الحالة الثانية: القيمة المطلقة على المتغير
في هذه الحالة لا نضع القيمة المطلقة على الناتج، وإنما نستبدل المتغير \(x\) بالقيمة المطلقة له، بحيث تصبح الدالة:
\[ y=f(|x|) \]
مثل:
\[ y=\sin(|x|) \]
أو:
\[ y=|x|^3-4|x| \]
كيف نرسم الدالة عند استبدال \(x\) بالقيمة المطلقة؟
لرسم الدالة:
1. نرسم الجزء الموجود عندما يكون \(x\) موجبًا فقط. 2. نهمل الجهة اليسرى بالكامل. 3. ننسخ الجزء الأيمن كما هو إلى الجهة اليسرى حول محور \(y\).
والسبب في ذلك أن:
\[ |x| \]
يلغي الإشارة السالبة، ولذلك تصبح قيم:
\[ x \]
و
\[ -x \]
تعطيان النتيجة نفسها.
تطبيق على دالة الجيب
إذا كانت الدالة:
\[ y=\sin(x) \]
ثم أصبحت:
\[ y=\sin(|x|) \]
فنرسم الجزء الأيمن من منحنى الجيب فقط، ثم ننسخه كما هو في الجهة اليسرى حول محور \(y\).
ولا يهم إذا احتوى المنحنى على قيم سالبة في محور \(y\)، لأن النسخ يكون كما هو دون تغيير.
تطبيق على دالة تكعيبية
إذا كانت الدالة:
\[ y=x^3-4x \]
فهناك حالتان مختلفتان:
إذا أصبحت:
\[ y=|x^3-4x| \]
فإننا نعكس جميع الأجزاء الواقعة أسفل محور \(x\) إلى الأعلى.
أما إذا أصبحت:
\[ y=|x|^3-4|x| \]
فنرسم الجهة اليمنى فقط، ثم نكررها في الجهة اليسرى حول محور \(y\).
تأثير القيمة المطلقة على تماثل الدالة
عند استبدال المتغير \(x\) بالقيمة المطلقة، تصبح الدالة دائمًا متناظرة حول محور \(y\).
أي أنها تحقق خاصية:
\[ f(-x)=f(x) \]
ولذلك تصبح **دالة زوجية** مهما كان شكلها الأصلي.
أما عند وضع القيمة المطلقة على كامل الدالة، فإن التماثل لا يعتمد على المتغير، وإنما يعتمد فقط على تحويل القيم السالبة إلى موجبة.
ملخص الدرس
- توجد حالتان للتحويل باستخدام القيمة المطلقة: وضعها على كامل الدالة، أو على المتغير \(x\). - إذا كانت القيمة المطلقة على كامل الدالة، فإن جميع الأجزاء الواقعة أسفل محور \(x\) تنعكس إلى الأعلى. - إذا كانت القيمة المطلقة على المتغير \(x\)، فإننا نرسم الجهة اليمنى فقط ثم ننسخها إلى الجهة اليسرى. - إذا كانت الدالة كلها موجبة فلن يتغير شكلها بعد وضع القيمة المطلقة. - استبدال \(x\) بالقيمة المطلقة يجعل الدالة دائمًا دالة زوجية ومتناظرة حول محور \(y\).
عن هذا الدرس
التحويلات الهندسية باستخدام القيمة المطلقة في هذا الدرس سنتعرف على التحويلات الهندسية باستخدام **القيمة المطلقة**، وسنرى كيف يختلف شكل الدالة باختلاف مكان… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
