الانعكاسات للدوال
الرياضيات — التحويلات الهندسية للدوال
الهدف: فهم الانعكاس حول المحور السيني والمحور الصادي وتطبيقهما على الدوال المختلفة.
الانعكاس حول المحور السيني
— القاعدة: نضرب الدالة كاملةً في (−1)، أي كل ما كان فوق المحور السيني ينتقل تحته والعكس.
مثال ١
— الدالة الأصلية:
— الدالة المنعكسة حول المحور السيني:
ملاحظة
— علامة السالب تنطبق على كامل المعادلة، وليس على x فقط.
— استخدم المتحكم لاختيار الدالة ومشاهدة انعكاسها حول المحور السيني:
الانعكاس حول المحور السيني: g(x) = −f(x)
الانعكاس حول المحور الصادي
— القاعدة: نستبدل x بـ (−x) في معادلة الدالة، أي كل ما كان على اليمين ينتقل لليسار والعكس.
مثال ٢
— الدالة الأصلية:
— الدالة المنعكسة حول المحور الصادي:
ملاحظة
— نطاق الدالة المنعكسة يتبدل أيضاً — الجذر يُعرَّف الآن للأعداد السالبة بدلاً من الموجبة.
— استخدم المتحكم لاختيار الدالة ومشاهدة انعكاسها حول المحور الصادي:
الانعكاس حول المحور الصادي: g(x) = f(−x)
تطبيق على دالة مركبة
مثال ٣
— الدالة الأصلية:
— الانعكاس حول المحور السيني — نضرب كامل المعادلة في (−1):
— الانعكاس حول المحور الصادي — نستبدل x بـ (−x):
ملاحظة
— في الانعكاس حول المحور الصادي، الثابت +4 يبقى بلا تغيير لأنه لا يحتوي على x.
الثوابت لا تتأثر بالانعكاس حول المحور الصادي
الدوال الزوجية والفردية والانعكاسات
— الدالة الزوجية: تحقق الشرط التالي لجميع x:
— الانعكاس حول المحور الصادي لا يغيّرها — مثال:
— الدالة الفردية: تحقق الشرط التالي لجميع x:
— الانعكاس حول أي من المحورين يعطي نفس النتيجة — مثال:
ملاحظة
— للدوال الفردية: الانعكاس حول المحور السيني = الانعكاس حول المحور الصادي — النتيجة واحدة.
دالة زوجية: انعكاس Y لا يغيّرها — دالة فردية: انعكاس X = انعكاس Y
ملخص القواعد
الخلاصة
— الانعكاس حول المحور السيني: نضرب كامل المعادلة في (−1).
— الانعكاس حول المحور الصادي: نستبدل x بـ (−x) في المعادلة.
— الدالة الزوجية: تتماثل حول المحور الصادي — الانعكاس عنه لا يغيّرها.
— الدالة الفردية: الانعكاس حول أي محور يعطي نفس الدالة الناتجة.
الانعكاسات الهندسية للدوال
في هذا الدرس سنتعرف على **الانعكاسات الهندسية للدوال**، وهي من أهم التحويلات الهندسية التي تغير موقع الرسم البياني دون تغيير شكل الدالة.
لدينا نوعان من الانعكاسات:
- الانعكاس حول محور \(x\). - الانعكاس حول محور \(y\).
ويختلف كل نوع في طريقة تطبيقه والمعادلة الناتجة عنه.
الانعكاس حول محور \(x\)
الانعكاس حول محور \(x\) يعني أن جميع النقاط الواقعة فوق المحور تنتقل إلى أسفله، وجميع النقاط الواقعة أسفل المحور تنتقل إلى أعلاه.
أي أن قيم \(y\) الموجبة تصبح سالبة، والقيم السالبة تصبح موجبة.
معادلة الانعكاس حول محور \(x\)
لإجراء الانعكاس حول محور \(x\)، نضرب **كامل معادلة الدالة** في سالب واحد:
\[ y=-f(x) \]
ولهذا السبب يجب الانتباه إلى أن الإشارة السالبة توضع على المعادلة كاملة، وليس على جزء منها فقط.
مثال على الانعكاس حول محور \(x\)
إذا كانت الدالة:
\[ y=x^2 \]
فإن انعكاسها حول محور \(x\) يصبح:
\[ y=-x^2 \]
فيتحول القطع المكافئ المفتوح إلى الأعلى إلى قطع مكافئ مفتوح إلى الأسفل.
الانعكاس حول محور \(y\)
الانعكاس حول محور \(y\) يعني تبديل الجهة اليمنى من الرسم البياني مع الجهة اليسرى.
أي أن القيم الموجبة للمتغير \(x\) تتحول إلى قيم سالبة، والعكس صحيح.
معادلة الانعكاس حول محور \(y\)
لإجراء الانعكاس حول محور \(y\)، نستبدل المتغير \(x\) بـ:
\[ -x \]
فتصبح الدالة:
\[ y=f(-x) \]
ولا يتم ضرب كامل المعادلة في سالب، وإنما يتم استبدال المتغير فقط.
مثال على الانعكاس حول محور \(y\)
إذا كانت الدالة:
\[ y=\sqrt{x} \]
فإن انعكاسها حول محور \(y\) يصبح:
\[ y=\sqrt{-x} \]
ويمتد الرسم البياني إلى الجهة اليسرى من المحور، مع بقاء المجال مقتصرًا على الأعداد الحقيقية التي تحقق:
\[ x\le0 \]
الانعكاس والدوال الزوجية
إذا كانت الدالة **زوجية** فإن الانعكاس حول محور \(y\) لا يغير شكلها.
ويرجع ذلك إلى أنها تحقق العلاقة:
\[ f(-x)=f(x) \]
ومن أمثلة ذلك:
\[ y=x^2 \]
إذ يبقى الرسم البياني كما هو بعد الانعكاس حول محور \(y\).
الانعكاس والدوال الفردية
إذا كانت الدالة **فردية** فإن الانعكاس حول محور \(x\) أو حول محور \(y\) يعطي الرسم البياني نفسه.
ويرجع ذلك إلى أنها تحقق:
\[ f(-x)=-f(x) \]
ومن أشهر الأمثلة:
\[ y=x^3 \]
و
\[ y=\frac{1}{x} \]
ففي كلا المثالين ينتج الشكل نفسه سواء أجرينا الانعكاس حول محور \(x\) أو حول محور \(y\).
مثال على دالة ليست زوجية ولا فردية
إذا كانت الدالة:
\[ y=\frac{1}{x}+4 \]
فإنها ليست زوجية ولا فردية، ولذلك يختلف ناتج الانعكاس حول كل محور.
### الانعكاس حول محور \(x\)
نضرب كامل المعادلة في سالب:
\[ y=-\left(\frac{1}{x}+4\right) \]
وبتبسيطها نحصل على:
\[ y=-\frac{1}{x}-4 \]
ويتحول الرسم البياني إلى الجهة المقابلة بالنسبة لمحور \(x\).
### الانعكاس حول محور \(y\)
نستبدل المتغير فقط:
\[ y=\frac{1}{-x}+4 \]
ويمكن تبسيطها إلى:
\[ y=-\frac{1}{x}+4 \]
ونلاحظ أن العدد \(4\) يبقى كما هو، لأننا لم نضرب المعادلة كلها في سالب، وإنما استبدلنا المتغير فقط.
الفرق بين الانعكاس حول المحورين
يمكن التمييز بين الانعكاسين بسهولة:
- الانعكاس حول محور \(x\) يغيّر قيم \(y\)، ولذلك نضرب **كامل الدالة** في سالب. - الانعكاس حول محور \(y\) يغيّر قيم \(x\)، ولذلك نستبدل \(x\) بـ \(-x\).
وهذه القاعدة تنطبق على جميع الدوال.
ملخص الدرس
- الانعكاس حول محور \(x\) يتم بضرب كامل الدالة في \(-1\). - الانعكاس حول محور \(y\) يتم باستبدال \(x\) بـ \(-x\). - الدوال الزوجية لا تتغير عند الانعكاس حول محور \(y\). - الدوال الفردية تعطي الشكل نفسه عند الانعكاس حول محور \(x\) أو محور \(y\). - عند وجود أكثر من تحويل هندسي، يجب تطبيق قاعدة الانعكاس على المعادلة الصحيحة قبل تبسيطها.
عن هذا الدرس
شرح درس الانعكاس حول المحور السيني و الصادي للدوال في أول ثانوي، الفصل الثاني، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
