3 نظريات للقطع مستقيمة خاصة بالدائرة
نظريات الأوتار والقواطع
الهندسة — ثلاث حالات أساسية
الهدف: إتقان النظريات الثلاث لتقاطع الأوتار والقواطع والمماسات وتطبيقها في حل المسائل.
وتران متقاطعان داخل الدائرة
— عند تقاطع وترين داخل الدائرة عند نقطة P، يكون حاصل ضرب جزأي كل وتر متساويًا.
مثال ١
— المعطيات: الأجزاء 10 و x و 5 و 12. المطلوب: إيجاد x.
x = 6
مماس وقاطع من نقطة خارجية
— مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب الجزء الخارجي من القاطع في طوله الكامل.
مثال ٢
— المعطيات: المماس = 8، الجزء الخارجي = x، الجزء الداخلي = 7.
x ≈ 5.2
قاطعان من نقطة خارجية
— حاصل ضرب الجزء الخارجي في القاطع الكامل متساوٍ للقاطعَين.
مثال ٣
— القاطع الأول: خارجي = 8، داخلي = x. القاطع الثاني: خارجي = 6، داخلي = 10.
x = 4
ملخص النظريات الثلاث
الخلاصة
— وتران داخليان: حاصل ضرب الجزأين متساوٍ للوترين — a × b = c × d.
— مماس وقاطع: مربع المماس = الجزء الخارجي × القاطع الكامل.
— قاطعان خارجيان: حاصل الضرب ثابت لكلا القاطعين — e₁ × s₁ = e₂ × s₂.
— القاعدة الموحّدة: في كل حالة، حاصل الضرب محفوظ على طرفَي نقطة التقاطع.
مقدمة الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على ثلاث نظريات خاصة بالقطع المستقيمة في الدائرة.
والحالات هي:
- تقاطع وترين داخل الدائرة. - تقاطع مماس وقاطع خارج الدائرة. - قاطعان مرسومان من نقطة خارج الدائرة.
الحالة الأولى: تقاطع وترين داخل الدائرة
إذا تقاطع وتران داخل الدائرة، فإن حاصل ضرب جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزأي الوتر الثاني.
أي:
(الجزء الأول من الوتر) × (الجزء الثاني من الوتر) = (الجزء الأول من الوتر الآخر) × (الجزء الثاني من الوتر الآخر)
مثال
إذا كان طول جزأي الوتر الأول 12 و5، وطول أحد جزأي الوتر الثاني 10، والجزء الآخر X، فإننا نكتب:
12 × 5 = 10 × X
وبحل المعادلة نجد أن:
X = 6
الحالة الثانية: تقاطع مماس وقاطع خارج الدائرة
إذا خرج من نقطة خارج الدائرة مماس وقاطع، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع في طول القاطع كاملًا.
أي:
(طول المماس)² = (الجزء الخارجي من القاطع) × (طول القاطع بالكامل)
مثال
إذا كان طول المماس 8، والجزء الخارجي من القاطع X، والجزء الداخلي 7، فإن طول القاطع بالكامل يساوي:
X + 7
وبالتالي تكون المعادلة:
8² = X(X + 7)
وبحل المعادلة التربيعية نحصل على قيمتين، إحداهما سالبة والأخرى موجبة.
وبما أن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا، فإن:
X = 5.2
الحالة الثالثة: قاطعان من نقطة خارج الدائرة
إذا خرج قاطعان من نقطة واحدة خارج الدائرة، فإن حاصل ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع الأول في طول القاطع الأول كاملًا يساوي حاصل ضرب طول الجزء الخارجي من القاطع الثاني في طول القاطع الثاني كاملًا.
أي:
(الجزء الخارجي الأول × طول القاطع الأول) = (الجزء الخارجي الثاني × طول القاطع الثاني)
مثال
إذا كان طول الجزء الخارجي من القاطع الأول 8، ومن القاطع الثاني 6، وكان الجزء الداخلي من القاطع الثاني 10، والجزء الداخلي من القاطع الأول X، فإن طول القاطع الأول بالكامل يساوي:
8 + X
وطول القاطع الثاني بالكامل يساوي:
6 + 10 = 16
إذن:
8(8 + X) = 6 × 16
وبحل المعادلة نجد أن:
X = 4
عن هذا الدرس
مقدمة الدرس في هذا الدرس سنتعرف على ثلاث نظريات خاصة بالقطع المستقيمة في الدائرة. والحالات هي: - تقاطع وترين داخل الدائرة. - تقاطع مماس وقاطع خارج… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.