الدالة الزوجية والدوال الفردية

١ المقارنة الأساسية

الدالة الزوجية

f(-x) = f(x)

تماثل حول محور y

أمثلة: cos(x)، x²، |x|

الدالة الفردية

f(-x) = -f(x)

تماثل حول نقطة الأصل

أمثلة: sin(x)، x³، x

كما أن الأعداد زوجية وفردية، فإن الدوال أيضاً زوجية وفردية — وكثير من الدوال لا زوجية ولا فردية.

٢ الرسم التفاعلي

—

٣ الدالة الزوجية — تفصيل ▼

f(-x) = f(x)

نفس القيمة على اليمين واليسار من محور y

f(2) مقابل f(−2)متساويتان دائماً

f(4) مقابل f(−4)متساويتان دائماً

التماثلحول محور y (مستقيم)

إذا طوينا المستوى على محور y، ينطبق الجانب الأيمن تماماً مع الجانب الأيسر.

٤ الدالة الفردية — تفصيل ▼

f(-x) = -f(x)

القيمة على اليسار = عكس القيمة على اليمين

f(2) = 8إذن f(−2) = −8

f(3) = 27إذن f(−3) = −27

التماثلحول نقطة الأصل (0,0)

كل نقطة على المنحنى لها نظيرة في الجهة المقابلة من الأصل بنفس المسافة لكن في الاتجاه المعاكس.

٥ الفائدة في التكامل ▼

الزوجية احسب جهة واحدة ثم اضرب في 2

الفردية التكامل على فترة متماثلة = 0

\int_{-a}^{a} x^3 \, dx = 0

المساحة اليمين (موجبة) تلغي المساحة اليسار (سالبة)

هذا يوفر حسابات كثيرة — بمجرد معرفة نوع الدالة يمكن تبسيط التكامل.

٦ الخلاصة

كثير من الدوال ليست زوجية ولا فردية — مثال: x² + x (فيها حدود زوجية وفردية معاً).

الشرح