المعادلات في الإحداثيات القطبية والديكارتية

١ النظامان — نفس الهدف، طريقتان مختلفتان

الديكارتية

المرجع: نقطة الأصل

التمثيل: (x, y)

ممتازة للخطوط المستقيمة

القطبية

المرجع: القطب (Pole)

التمثيل: (r, θ)

ممتازة للدوائر والأقواس

التحويل: x

x = r\cos\theta

التحويل: y

y = r\sin\theta

التحويل: r

r^2 = x^2 + y^2

القاعدة الذهبية: اختر النظام الذي يجعل المعادلة أبسط — المعادلات الأبسط تعني عمليات رياضية أسهل وأسرع.

الزاوية θ (درجة)53

٢ الخطوط المستقيمة — الديكارتية أسهل ▼

مثال: خط أفقي يمر عند ارتفاع 5 وحدات فوق محور X.

ارتفاع الخط y =3

الديكارتية

y = 5

✓ بسيطة ومباشرة

القطبية

r = \frac{5}{\sin\theta}

✗ أكثر تعقيدًا

كيف نحولها

نستبدل y بـ r sin(θ) فنحصل على:

r\sin\theta = 5 \implies r = \frac{5}{\sin\theta}

للخطوط المستقيمة: استخدم الإحداثيات الديكارتية

٣ الدوائر — القطبية أسهل بكثير ▼

دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 5 وحدات.

الديكارتية

x^2 + y^2 = 25

تحتاج مربعين وجمع

القطبية

r = 5

✓ بسيطة جدًا!

في القطبية: θ تأخذ أي قيمة والشرط الوحيد أن r = R — كل نقطة على بُعد R من الأصل تنتمي للدائرة.

نصف القطر R5

للدوائر والأشكال الدائرية: استخدم الإحداثيات القطبية

٤ التطبيقات العملية — متى نستخدم كل نظام؟ ▼

الديكارتية أفضل لـ خطوط مستقيمة، مربعات، مستطيلات

القطبية أفضل لـ دوائر، أقواس، حلزونيات، قطاعات

سهولة المعادلات تسهل: التكامل (حساب المساحات والأحجام)، التفاضل (الميول والمعدلات)، وكل العمليات الرياضية.

للأشكال الدائرية نحول عادةً إلى القطبية — الحسابات أقل تعقيدًا وأسرع.

٥ الخلاصة

الشكل	الديكارتية	القطبية	الأفضل
خط أفقي (y=5)	$y = 5$	$r = \dfrac{5}{\sin\theta}$	الديكارتية
دائرة (r=5)	$x^2 + y^2 = 25$	$r = 5$	القطبية

التكامل

معادلات أبسط = تكامل أسهل

التفاضل

معادلات أبسط = تفاضل أسهل

القاعدة الذهبية

اختر النظام الذي يبسّط المعادلة

المعادلات في الإحداثيات القطبية والديكارتية

الشرح

المعادلات في الإحداثيات القطبية والديكارتية