نظرية ديموافر

نظرية ديموافر

في الدرس السابق تعلمنا كيفية ضرب عددين مركبين مكتوبين بالصورة القطبية.

وقلنا إن عملية الضرب تتم وفق القاعدتين الآتيتين:

- نضرب القيم المطلقة في بعضها. - ونجمع الزوايا.

الآن سنتعرف على طريقة رفع العدد المركب إلى قوة معينة، وهي ما تعرف بـ **نظرية ديموافر**.

الفكرة

إذا أردنا تربيع عدد مركب، فهذا يعني ضربه في نفسه مرتين.

فإذا كان العدد المركب بالصورة القطبية:

**r(Cosθ + iSinθ)**

فإن:

**[r(Cosθ + iSinθ)]² = r²(Cos2θ + iSin2θ)**

نلاحظ أن:

- القيمة المطلقة أصبحت **r²**. - الزاوية تضاعفت وأصبحت **2θ**.

رفع العدد للأس 3

إذا رفعنا العدد للأس ثلاثة:

**[r(Cosθ + iSinθ)]³ = r³(Cos3θ + iSin3θ)**

فنلاحظ أن:

- القيمة المطلقة أصبحت **r³**. - الزاوية أصبحت **3θ**.

وبنفس الطريقة يمكن رفع العدد لأي أس.

نظرية ديموافر

بصورة عامة، إذا كان:

**z = r(Cosθ + iSinθ)**

فإن:

**zⁿ = rⁿ(Cos(nθ) + iSin(nθ))**

أي أن:

- نرفع القيمة المطلقة للأس **n**. - ونضرب الزاوية في **n**.

مثال

إذا كان:

**z = 7(Cos30° + iSin30°)**

وأردنا حساب:

**z¹⁵**

فنطبق نظرية ديموافر مباشرة.

### أولاً: القيمة المطلقة

تصبح:

**7¹⁵**

### ثانياً: الزاوية

تصبح:

**15 × 30° = 450°**

إذن:

**z¹⁵ = 7¹⁵(Cos450° + iSin450°)**

### تبسيط الزاوية

الزاوية:

**450° = 360° + 90°**

أي أنها تكافئ:

**90°**

لذلك:

- **Cos450° = Cos90° = 0** - **Sin450° = Sin90° = 1**

فتصبح:

**z¹⁵ = 7¹⁵(0 + i)**

أي:

**z¹⁵ = 7¹⁵ i**

خلاصة

- نظرية ديموافر تستخدم لرفع العدد المركب المكتوب بالصورة القطبية إلى أي قوة. - إذا كان:

**z = r(Cosθ + iSinθ)**

فإن:

**zⁿ = rⁿ(Cos(nθ) + iSin(nθ))**

- عند تبسيط الناتج، يمكن اختزال الزاوية بإضافة أو طرح مضاعفات **360°** حتى نحصل على زاوية مكافئة يسهل إيجاد قيم الجيب وجيب التمام لها.