تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الشرح

الأعداد المركبة والمستوى المركب

١ الوحدة التخيلية i

i = \sqrt{-1} \qquad i^2 = -1

الضرب في i = دوران 90° في المستوى المركب

i مرفوعة 1

i

زاوية 90°

i مرفوعة 2

-1

زاوية 180°

i مرفوعة 3

-i

زاوية 270°

i مرفوعة 4

1

زاوية 360°

٢ تعريف العدد المركب

z = x + yi

x = الجزء الحقيقي، y = الجزء التخيلي

y = 0 عدد حقيقي فقط

x = 0 عدد تخيلي بحت

x ≠ 0، y ≠ 0 عدد مركب

٣ الصيغة القطبية

z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)

القيمة المطلقة

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

الزاوية

\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)

الضرب اضرب |z| وأجمع الزوايا

القسمة اقسم |z| واطرح الزوايا

الأسس — ديمواهفر

[r(\cos\theta+i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)

٤ المستوى المركب — تفاعلي

—

الجزء الحقيقي x3

الجزء التخيلي y4

٥ مثال ١ — التحويل إلى الصيغة القطبية ▼

المطلوب حوّل z = 3 + 4i إلى الصيغة القطبية

القيمة المطلقة

|z| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5

الزاوية

\theta = \arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right) \approx 53.13°

z = 5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)

٦ مثال ٢ — ضرب الأعداد المركبة ▼

z1

2(\cos 30° + i\sin 30°)

z2

3(\cos 45° + i\sin 45°)

اضرب |z|

2 \times 3 = 6

أجمع الزوايا

30° + 45° = 75°

z_1 \times z_2 = 6(\cos 75° + i\sin 75°)

٧ مثال ٣ — نظرية ديمواهفر ▼

المطلوب أوجد (1 + i) مرفوعة 8

حوّل إلى قطبية

|1+i| = \sqrt{2}, \quad \theta = 45°

1+i = \sqrt{2}(\cos 45° + i\sin 45°)

طبّق ديمواهفر

(\sqrt{2})^8 = 2^4 = 16

8 \times 45° = 360° = 0°

(1+i)^8 = 16(\cos 0° + i\sin 0°) = 16

٨ التطبيقات العملية

الهندسة الكهربائية

تحليل دوائر التيار المتردد

معالجة الإشارات

تحويل فورييه والصوت

ميكانيكا الكم

دالة الموجة

الديناميكا الهوائية

تحليل التدفق

ثالث ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...