الأعداد الحقيقية (Real Numbers)

١ التسلسل الهرمي لمجموعات الأعداد

كل مجموعة تحتوي على المجموعات الأصغر منها — الأعداد الحقيقية تشمل الجميع.

الأعداد الحقيقية ℝ — تشمل كل ما يلي

الأعداد غير النسبية مثل π، √2، e

الأعداد النسبية ℚ — كسور وأعداد صحيحة

الأعداد الصحيحة ℤ — موجبة وسالبة وصفر

الأعداد الكلية 𝕎 — طبيعية + صفر

الأعداد الطبيعية ℕ = {1, 2, 3, …}

٢ تعريف كل مجموعة

الطبيعية ℕ

\{1,2,3,4,\ldots\}

الكلية 𝕎

\{0,1,2,3,\ldots\}

الصحيحة ℤ

\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}

النسبية ℚ

\left\{\frac{a}{b} : a,b\in\mathbb{Z},\, b\neq 0\right\}

غير النسبية لا تنتهي ولا تتكرر عشريًا

أمثلة نسبية

\tfrac{1}{2},\; 0.75,\; -3,\; 0

أمثلة غير نسبية

\pi,\; e,\; \sqrt{2},\; \phi

٣ خط الأعداد التفاعلي

اختر مجموعة من الأزرار أعلاه

مستوى التكبير3

٤ مثال ١ — تصنيف الأعداد ▼

صنّف الأعداد التالية إلى مجموعاتها:

5,\quad -3,\quad \tfrac{2}{7},\quad 0,\quad \sqrt{3},\quad \pi,\quad -\tfrac{1}{4},\quad 0.25,\quad \sqrt{16}

ملاحظة: √16 = 4 (عدد صحيح)، و 0.25 = ¼ (عدد نسبي)

٥ مثال ٢ — برهان بالتناقض أن √2 غير نسبي ▼

الفرضية

نفترض أن √2 نسبي، أي:

\sqrt{2} = \frac{p}{q}, \quad p,q \in \mathbb{Z},\; \gcd(p,q)=1

تربيع الطرفين

2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2

إذن p مربّع زوجي ← p زوجي، اكتب p = 2k

الاستنتاج

2q^2 = (2k)^2 = 4k^2

q^2 = 2k^2

إذن q مربّع زوجي ← q زوجي أيضًا

تناقض! كلا العددين زوجيان ← القاسم المشترك الأكبر ≥ 2 ← يناقض الفرض. إذن √2 غير نسبي ✓

٦ مثال ٣ — العمليات على الأعداد الحقيقية ▼

نسبي + نسبي → نسبي

\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}

غير نسبي + غير نسبي → غير نسبي

\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}

غير نسبي + نظيره → نسبي!

\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0

نسبي × غير نسبي → غير نسبي

3\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}

صفر × غير نسبي → نسبي!

0\times\sqrt{2}=0

الناتج يعتمد على الأعداد المحددة وليس فقط على نوعها.

الشرح