البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضيّ
الخطوة 1 — الأساس ():
الخطوة 2 — فرضية الاستقراء (افترض عند ):
| يقبل القسمة على 4؟ | ||
|---|---|---|
| 1 | نعم ✓ | |
| 2 | نعم ✓ | |
| 3 | لا ✗ |
ما هو البرهان الجبري؟
البرهان الجبري هو استخدام قوانين وخصائص الجبر لإثبات صحة نتيجة أو قاعدة رياضية.
وقبل دراسة البرهان الجبري، من المهم أن نعرف أن الرياضيات تنقسم إلى عدة فروع، منها:
- الحساب، ويهتم بعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. - الجبر، ويهتم بالمتغيرات والمعادلات وإيجاد قيمها. - الهندسة، وتهتم بالأشكال الهندسية. - حساب المثلثات. - الإحصاء. - التفاضل والتكامل.
وفي البرهان الجبري نستخدم خصائص الجبر للوصول إلى النتيجة المطلوبة بطريقة منطقية ومنظمة.
خصائص المساواة
يعتمد البرهان الجبري على مجموعة من خصائص الأعداد الحقيقية، ومن أهمها:
- **خاصية الجمع للمساواة:** إذا كان <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A=B" data-tex="A=B" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></span>، فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A+C=B+C" data-tex="A+C=B+C" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.401ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 6807.4 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(972.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1972.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3010.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4066,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5047.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6047.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>
- **خاصية الطرح للمساواة:** إذا كان <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A=B" data-tex="A=B" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></span>، فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A-C=B-C" data-tex="A-C=B-C" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.401ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 6807.4 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(972.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1972.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3010.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4066,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5047.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6047.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>
- **خاصية الضرب للمساواة:** إذا كان <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A=B" data-tex="A=B" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></span>، فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A\times C=B\times C" data-tex="A\times C=B\times C" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.401ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 6807.4 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(972.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1972.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3010.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4066,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5047.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6047.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>
- **خاصية القسمة للمساواة:** إذا كان <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A=B" data-tex="A=B" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></span>، وكان <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="C\neq0" data-tex="C\neq0" style="display:inline-block;vertical-align: -0.486ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.868ex" height="2.106ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2593.6 931" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1037.8,0)"><use data-c="2260" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2260"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2093.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span>، فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\frac{A}{C}=\frac{B}{C}" data-tex="\frac{A}{C}=\frac{B}{C}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.447ex" height="4.751ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1392 3733.6 2100" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mi" transform="translate(225,676)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-686)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g><rect width="960" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1477.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2533.6,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220.5,676)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-686)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g><rect width="960" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
خصائص أخرى مهمة
من الخصائص المستخدمة كثيراً في البرهان:
- **خاصية الانعكاس:** كل كمية تساوي نفسها.
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A=A" data-tex="A=A" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.411ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2833.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></div>
- **خاصية التماثل:** إذا كان:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A=B" data-tex="A=B" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></div>
فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="B=A" data-tex="B=A" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1036.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2092.6,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></div>
- **خاصية التعدي:** إذا كان:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A=B" data-tex="A=B" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></div>
و
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="B=C" data-tex="B=C" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.454ex" height="1.781ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 2852.6 787" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1036.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2092.6,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>
فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A=C" data-tex="A=C" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.433ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2843.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>
- **خاصية التعويض:** إذا كان:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A=B" data-tex="A=B" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.431ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 2842.6 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2083.6,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></div>
فيمكن استبدال <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A" data-tex="A" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></span> بـ <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="B" data-tex="B" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></span> أو العكس في أي معادلة.
خاصية التوزيع
تستخدم خاصية التوزيع عند ضرب عدد في ما داخل الأقواس، مثل:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="A(B+C)=AB+AC" data-tex="A(B+C)=AB+AC" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.272ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9844.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1139,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2120.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3120.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3880.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4547.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5603,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6353,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7334.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8334.4,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9084.4,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></div>
وهي من أكثر الخصائص استخداماً عند تبسيط المعادلات.
مثال على البرهان الجبري
إذا كانت لدينا المعادلة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="-5(x+4)=70" data-tex="-5(x+4)=70" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.122ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6684 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1278,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1667,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2461.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3461.4,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3961.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4628.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5684,0)"><use data-c="37" xlink:href="#MJXG-TEX-N-37"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></div>
وطُلب إثبات أن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=-18" data-tex="x=-18" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.334ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3683.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2683.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></div>
فنبدأ باستخدام خاصية التوزيع، ثم نبسط المعادلة، وبعد ذلك نستخدم خصائص الجمع والطرح والقسمة للمساواة حتى نعزل المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، فنصل إلى:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=-18" data-tex="x=-18" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.334ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3683.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2683.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></div>
البرهان بجدول العبارات والمبررات
يمكن أيضاً كتابة البرهان الجبري في جدول مكوّن من عمودين:
- **العبارات:** نكتب فيها خطوات الحل. - **المبررات:** نكتب فيها الخاصية أو القانون المستخدم في كل خطوة، مثل: - خاصية التوزيع. - التبسيط. - خاصية الجمع للمساواة. - خاصية القسمة للمساواة.
وهذه الطريقة تساعد على تنظيم البرهان وإظهار سبب كل خطوة.
البرهان الهندسي
البرهان الهندسي يعتمد على الفكرة نفسها، لكنه يستخدم بالإضافة إلى خصائص الجبر المسلمات والنظريات الهندسية.
فقد نستخدم خصائص المساواة مع نظريات الزوايا أو المثلثات لإثبات نتيجة هندسية.
مثال على البرهان الهندسي
إذا كان لدينا زاويتان معبر عنهما بدلالة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، وعُلم أن كل واحدة منهما تطابق زاوية ثالثة، فإننا نستنتج أولاً باستخدام **خاصية التعدي** أن الزاويتين متساويتان.
بعد ذلك نستخدم **خاصية التعويض** لاستبدال قياس كل زاوية بتعبيرها الجبري، فنحصل على معادلة في <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.
ثم نحل المعادلة باستخدام خصائص الجمع والطرح والقسمة للمساواة حتى نجد قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.
وفي النهاية يمكن كتابة النتيجة على الصورة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=6" data-tex="x=6" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g></g></g></svg></div>
وإذا كانت المعادلة أعطت:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="6=x" data-tex="6=x" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(777.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></div>
فنستخدم **خاصية التماثل للمساواة** لكتابتها بالشكل المعتاد:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=6" data-tex="x=6" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g></g></g></svg></div>
الخلاصة
البرهان الجبري يعتمد على استخدام خصائص الجبر لإثبات النتائج بطريقة منطقية ومنظمة.
ومن أهم الخصائص المستخدمة:
- خاصية الجمع للمساواة. - خاصية الطرح للمساواة. - خاصية الضرب للمساواة. - خاصية القسمة للمساواة. - خاصية الانعكاس. - خاصية التماثل. - خاصية التعدي. - خاصية التعويض. - خاصية التوزيع.
أما البرهان الهندسي فيجمع بين خصائص الجبر والنظريات الهندسية للوصول إلى الإثبات المطلوب.
عن هذا الدرس
البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي: الخطوات الثلاث الأساس عند n=1 والفرضية عند n=k وخطوة الاستقراء عند n=k+1، ولماذا لا يغني التحقق الرقمي عن… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.