نظرية ذات الحدين

ما هي نظرية ذات الحدين؟

تُستخدم نظرية ذات الحدين لتوسيع أو فك الأقواس التي تكون على الصورة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="(a+b)^n" data-tex="(a+b)^n" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.841ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3465.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1140.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2140.4,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2569.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(422,413) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></div>

حيث إن <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></span> عدد صحيح موجب.

وتوفر هذه النظرية طريقة سريعة لفك الأقواس دون الحاجة إلى الضرب المتكرر.

مكونات نظرية ذات الحدين

يمكن تقسيم النظرية إلى جزأين رئيسيين:

- معاملات الحدود. - توزيع الأسس على الحدين.

وفهم هذين الجزأين يجعل تطبيق النظرية بسيطاً وسهلاً.

معاملات الحدود

معاملات الحدود تؤخذ مباشرة من **مثلث باسكال**، أو يمكن إيجادها باستخدام **التوافيق**.

فعند معرفة قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></span>، نختار الصف المناسب من مثلث باسكال، وتكون أرقامه هي معاملات حدود التوسع.

توزيع الأسس

يتبع توزيع الأسس نمطاً ثابتاً.

فالحد الأول يبدأ بأس:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></div>

ثم يتناقص بمقدار واحد في كل حد، حتى يصل إلى الصفر.

وفي المقابل يبدأ الحد الثاني بالأس:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="0" data-tex="0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>

ثم يزداد بمقدار واحد في كل حد، حتى يصل إلى:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></div>

وبذلك يبقى مجموع الأسين في كل حد مساوياً دائماً لـ:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></div>

بداية ونهاية التوسع

في أول حد يكون:

- الحد الأول مرفوعاً للأس <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></span>. - الحد الثاني أسه صفر، وقيمته تساوي 1.

أما في آخر حد فيحدث العكس:

- الحد الأول أسه صفر، وقيمته تساوي 1. - الحد الثاني مرفوع للأس <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></span>.

عدد الحدود

عدد الحدود الناتجة بعد فك القوس يساوي دائماً:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="n+1" data-tex="n+1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.254ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2322.4 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1822.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>

فإذا كان:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="n=2" data-tex="n=2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>

فإن الناتج يحتوي على ثلاثة حدود.

وإذا كان:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="n=5" data-tex="n=5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>

فإن الناتج يحتوي على ستة حدود.

ولهذا السبب نختار من مثلث باسكال الصف الذي يحتوي على العدد نفسه من الحدود.

مثال

عند فك:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="(a+b)^5" data-tex="(a+b)^5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.681ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 3395 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1140.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2140.4,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2569.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(422,413) scale(0.707)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></g></svg></div>

نأخذ معاملات الصف السادس من مثلث باسكال:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="1,\;5,\;10,\;10,\;5,\;1" data-tex="1,\;5,\;10,\;10,\;5,\;1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.225ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 7613.3 860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(778,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1222.7,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1722.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2000.7,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2445.3,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3445.3,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3723.3,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4168,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5168,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(5446,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5890.7,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6390.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(6668.7,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7113.3,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>

ثم نوزع الأسس بحيث يبدأ أس <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="a" data-tex="a" style="display:inline-block;vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></span> من 5 ويتناقص، بينما يبدأ أس <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="b" data-tex="b" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></span> من 0 ويتزايد، مع بقاء مجموع الأسين في كل حد مساوياً لـ 5.

الخلاصة

تعتمد نظرية ذات الحدين على فك التعبيرات من الصورة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="(a+b)^n" data-tex="(a+b)^n" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.841ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3465.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1140.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2140.4,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2569.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(422,413) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></div>

ويتم ذلك من خلال:

- أخذ معاملات الحدود من مثلث باسكال أو التوافيق. - توزيع الأسس بحيث يتناقص أس الحد الأول ويزداد أس الحد الثاني. - المحافظة على أن مجموع الأسين في كل حد يساوي <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="n" data-tex="n" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></span>. - ويكون عدد الحدود الناتجة دائماً مساوياً لـ <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="n+1" data-tex="n+1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.254ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2322.4 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1822.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span>.