التمدد الرأسي والتمدد الأفقي

في هذا الدرس سنتعرف على **التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال**، وهما من أهم التحويلات الهندسية التي تغير شكل الرسم البياني للدالة دون تغيير نوعها.

يمكن أن يكون التمدد على محور \(y\) أو على محور \(x\)، وفي كل حالة قد يحدث **توسع** أو **تضيق**.

التمدد الرأسي

التمدد الرأسي يعني تغيير ارتفاع الدالة على محور \(y\).

فعند سحب الدالة إلى أعلى وأسفل بعيدًا عن محور \(x\)، يحدث **توسع رأسي**.

أما عند ضغطها باتجاه محور \(x\)، فيحدث **تضيق رأسي**.

معادلة التمدد الرأسي

يتم التمدد الرأسي بضرب **كامل معادلة الدالة** في عدد ثابت:

\[ y=a\,f(x) \]

ولا يتم ضرب المتغير \(x\)، وإنما تضرب الدالة كاملة.

التوسع الرأسي

إذا كان:

\[ a>1 \]

فإن جميع قيم الدالة تتضاعف، وبالتالي يزداد ارتفاع الرسم البياني ويحدث **توسع رأسي**.

فعلى سبيل المثال:

\[ y=5\sin(x) \]

يكون أعلى من منحنى:

\[ y=\sin(x) \]

بخمسة أضعاف.

التضيق الرأسي

إذا كان:

\[ 0<a<1 \]

فإن قيم الدالة تصبح أصغر، ويقترب المنحنى من محور \(x\)، ويحدث **تضيق رأسي**.

فعلى سبيل المثال:

\[ y=0.5\sin(x) \]

يعطي منحنى أقل ارتفاعًا من الدالة الأصلية.

لماذا يحدث التوسع أو التضيق الرأسي؟

عند الضرب في عدد أكبر من الواحد تتضاعف جميع قيم الدالة، فيزداد ارتفاع المنحنى.

أما عند الضرب في عدد بين الصفر والواحد فإننا نأخذ جزءًا من كل قيمة، فتقترب نقاط الرسم من محور \(x\)، ولذلك يحدث التضيق.

التمدد الأفقي

التمدد الأفقي يعني تغيير عرض الدالة على محور \(x\)، مع بقاء ارتفاعها كما هو.

وقد يكون التمدد الأفقي على شكل:

- توسع أفقي. - تضيق أفقي.

معادلة التمدد الأفقي

في التمدد الأفقي لا نضرب الدالة كاملة، وإنما نستبدل المتغير \(x\) بمتغير جديد:

\[ y=f(ax) \]

أي أن عملية الضرب تكون داخل الدالة مع المتغير \(x\).

التضيق الأفقي

إذا كان:

\[ a>1 \]

فإن الرسم البياني ينضغط أفقيًا، ويحدث **تضيق أفقي**.

فعلى سبيل المثال:

\[ y=\sin(5x) \]

يعطي منحنى أكثر تقاربًا من الدالة الأصلية، لأن الدالة تتغير بسرعة أكبر على محور \(x\).

التوسع الأفقي

إذا كان:

\[ 0<a<1 \]

فإن الرسم البياني يتمدد أفقيًا، ويحدث **توسع أفقي**.

فعلى سبيل المثال:

\[ y=\sin(0.2x) \]

يعطي منحنى أعرض من منحنى الدالة الأصلية، لأن التغير على محور \(x\) يصبح أبطأ.

الفرق بين التمدد الرأسي والتمدد الأفقي

الفرق الأساسي بين النوعين هو مكان إجراء عملية الضرب:

- في التمدد الرأسي نضرب **كامل معادلة الدالة**. - في التمدد الأفقي نضرب **المتغير \(x\) فقط** داخل الدالة.

كما أن تأثير العدد يختلف بين الحالتين:

- إذا كان العدد أكبر من الواحد: - يحدث **توسع رأسي**. - ويحدث **تضيق أفقي**.

- إذا كان العدد بين الصفر والواحد: - يحدث **تضيق رأسي**. - ويحدث **توسع أفقي**.

ملخص الدرس

- التمدد الرأسي يغير ارتفاع الدالة على محور \(y\). - التمدد الأفقي يغير عرض الدالة على محور \(x\). - التمدد الرأسي يتم بضرب كامل الدالة في عدد ثابت. - التمدد الأفقي يتم باستبدال المتغير \(x\) بـ \(ax\). - العدد الأكبر من الواحد يسبب توسعًا رأسيًا وتضيقًا أفقيًا. - العدد الواقع بين الصفر والواحد يسبب تضيقًا رأسيًا وتوسعًا أفقيًا.