التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال
التمدد الرأسي والأفقي للدوال
| النوع | الصيغة | a > 1 | 0 < a < 1 | ما يتغير |
|---|---|---|---|---|
| رأسي | توسع | تضيق | السعة (ارتفاع الدالة) | |
| أفقي | تضيق | توسع | سرعة تكرار الدورة |
| الدالة | a | النوع | التأثير |
|---|---|---|---|
| 5 | توسع رأسي | سعة = 5 (من −5 إلى 5) | |
| 0.4 | تضيق رأسي | سعة = 0.4 (من −0.4 إلى 0.4) | |
| 5 | تضيق أفقي | الدورة تتكرر 5 مرات أسرع | |
| 0.4 | توسع أفقي | الدورة تتكرر أبطأ |
السعة → التمدد الرأسي | سرعة الدورة → التمدد الأفقي
| الحالة | الصيغة | الشرط | التأثير | ما يتغير |
|---|---|---|---|---|
| توسع رأسي | a > 1 | ارتفاع ↑ | السعة تكبر | |
| تضيق رأسي | 0 < a < 1 | ارتفاع ↓ | السعة تصغر | |
| تضيق أفقي | a > 1 | تسريع ←→ | دورة أسرع | |
| توسع أفقي | 0 < a < 1 | تبطيء ←→ | دورة أبطأ |
اختبار التمدد الرأسي والأفقي للدوال
1 / 10التمدد الرأسي والتمدد الأفقي
في هذا الدرس سنتعرف على **التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال**، وهما من أهم التحويلات الهندسية التي تغير شكل الرسم البياني للدالة دون تغيير نوعها.
يمكن أن يكون التمدد على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span> أو على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، وفي كل حالة قد يحدث **توسع** أو **تضيق**.
التمدد الرأسي
التمدد الرأسي يعني تغيير ارتفاع الدالة على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>.
فعند سحب الدالة إلى أعلى وأسفل بعيدًا عن محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، يحدث **توسع رأسي**.
أما عند ضغطها باتجاه محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، فيحدث **تضيق رأسي**.
معادلة التمدد الرأسي
يتم التمدد الرأسي بضرب **كامل معادلة الدالة** في عدد ثابت:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=a\,f(x)" data-tex="y=a\,f(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.999ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4419.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2352.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2519.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3069.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3458.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4030.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>
ولا يتم ضرب المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، وإنما تضرب الدالة كاملة.
التوسع الرأسي
إذا كان:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="a>1" data-tex="a>1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 706" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1862.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>
فإن جميع قيم الدالة تتضاعف، وبالتالي يزداد ارتفاع الرسم البياني ويحدث **توسع رأسي**.
فعلى سبيل المثال:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=5\sin(x)" data-tex="y=5\sin(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.467ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5068.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2490.2,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3718.2,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3718.2,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4107.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4679.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>
يكون أعلى من منحنى:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=\sin(x)" data-tex="y=\sin(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.958ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4401.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3051.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3051.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3440.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4012.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>
بخمسة أضعاف.
التضيق الرأسي
إذا كان:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="0<a<1" data-tex="0<a<1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.493ex" height="1.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4196.1 706" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(777.8,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2640.3,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3696.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>
فإن قيم الدالة تصبح أصغر، ويقترب المنحنى من محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، ويحدث **تضيق رأسي**.
فعلى سبيل المثال:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=0.5\sin(x)" data-tex="y=0.5\sin(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.227ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5846.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use><use data-c="2E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2E" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35" transform="translate(778,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3268.2,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4496.2,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4496.2,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4885.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5457.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>
يعطي منحنى أقل ارتفاعًا من الدالة الأصلية.
لماذا يحدث التوسع أو التضيق الرأسي؟
عند الضرب في عدد أكبر من الواحد تتضاعف جميع قيم الدالة، فيزداد ارتفاع المنحنى.
أما عند الضرب في عدد بين الصفر والواحد فإننا نأخذ جزءًا من كل قيمة، فتقترب نقاط الرسم من محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، ولذلك يحدث التضيق.
التمدد الأفقي
التمدد الأفقي يعني تغيير عرض الدالة على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، مع بقاء ارتفاعها كما هو.
وقد يكون التمدد الأفقي على شكل:
- توسع أفقي. - تضيق أفقي.
معادلة التمدد الأفقي
في التمدد الأفقي لا نضرب الدالة كاملة، وإنما نستبدل المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> بمتغير جديد:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=f(ax)" data-tex="y=f(ax)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.621ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4252.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2373.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2762.6,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3291.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3863.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>
أي أن عملية الضرب تكون داخل الدالة مع المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.
التضيق الأفقي
إذا كان:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="a>1" data-tex="a>1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 706" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1862.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>
فإن الرسم البياني ينضغط أفقيًا، ويحدث **تضيق أفقي**.
فعلى سبيل المثال:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=\sin(5x)" data-tex="y=\sin(5x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.089ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4901.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3051.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3051.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3440.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3940.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4512.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>
يعطي منحنى أكثر تقاربًا من الدالة الأصلية، لأن الدالة تتغير بسرعة أكبر على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.
التوسع الأفقي
إذا كان:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="0<a<1" data-tex="0<a<1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.493ex" height="1.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4196.1 706" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(777.8,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2640.3,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3696.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>
فإن الرسم البياني يتمدد أفقيًا، ويحدث **توسع أفقي**.
فعلى سبيل المثال:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=\sin(0.2x)" data-tex="y=\sin(0.2x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.85ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5679.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJXG-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJXG-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3051.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3051.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3440.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use><use data-c="2E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2E" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(778,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4718.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5290.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>
يعطي منحنى أعرض من منحنى الدالة الأصلية، لأن التغير على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> يصبح أبطأ.
الفرق بين التمدد الرأسي والتمدد الأفقي
الفرق الأساسي بين النوعين هو مكان إجراء عملية الضرب:
- في التمدد الرأسي نضرب **كامل معادلة الدالة**. - في التمدد الأفقي نضرب **المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> فقط** داخل الدالة.
كما أن تأثير العدد يختلف بين الحالتين:
- إذا كان العدد أكبر من الواحد: - يحدث **توسع رأسي**. - ويحدث **تضيق أفقي**.
- إذا كان العدد بين الصفر والواحد: - يحدث **تضيق رأسي**. - ويحدث **توسع أفقي**.
ملخص الدرس
- التمدد الرأسي يغير ارتفاع الدالة على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>. - التمدد الأفقي يغير عرض الدالة على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - التمدد الرأسي يتم بضرب كامل الدالة في عدد ثابت. - التمدد الأفقي يتم باستبدال المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> بـ <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="ax" data-tex="ax" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.491ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1101 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - العدد الأكبر من الواحد يسبب توسعًا رأسيًا وتضيقًا أفقيًا. - العدد الواقع بين الصفر والواحد يسبب تضيقًا رأسيًا وتوسعًا أفقيًا.
عن هذا الدرس
التمدد الرأسي والتمدد الأفقي في هذا الدرس سنتعرف على التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال، وهما من أهم التحويلات الهندسية التي تغير شكل الرسم البياني… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.