الاحتمال المشروط

الاحتمال المشروط

١ التعريف والقانون الأساسي

الاحتمال المشروط هو احتمال وقوع حدث B بشرط علمنا المسبق بوقوع حدث A.

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \quad P(A) \neq 0

يُقرأ: احتمال B بشرط A

قانون الضرب

P(A \cap B) = P(B|A)\cdot P(A)

قانون بايز

P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}

أحداث مستقلة

P(B|A) = P(B)

٢ ملخص القوانين

القانون	الصيغة	الاستخدام
المشروط الأساسي	$P(B\|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$	احتمال B بشرط A
الضرب	$P(A\cap B)=P(B\|A)\cdot P(A)$	حساب التقاطع
الاحتمال الكلي	$P(B)=\sum P(B\|A_i)\cdot P(A_i)$	حساب B بعدة مسارات
بايز	$P(A\|B)=\frac{P(B\|A)\cdot P(A)}{P(B)}$	عكس الاحتمال المشروط

٣ حاسبة الاحتمال المشروط

P(A ∩ B) = P(A) =

٤ مثال ١ — الكرات الملونة ▼

وعاء يحتوي على 4 كرات: أصفر صغيرة، أخضر صغيرة، أحمر كبيرة، أزرق كبيرة. ما احتمال سحب الأزرق علمًا بأن الكرة كبيرة؟

التقاطع — كبيرة وزرقاء

P(A \cap B) = \tfrac{1}{4}

P(كبيرة)

P(A) = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}

القانون

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{2}

P = \frac{1}{2} = 50\%

ارتفع الاحتمال من ¼ إلى ½ بسبب المعلومة الإضافية

٥ مثال ٢ — أوراق اللعب ▼

من 52 ورقة — ما احتمال أن تكون الورقة ملكًا علمًا بأنها ورقة وجه؟

A = وجه

P(A) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}

التقاطع

P(A\cap B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

القانون

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{13}}{\tfrac{3}{13}} = \frac{1}{3}

P = \frac{1}{3} \approx 33.3\%

٦ مثال ٣ — الطلاب والمواد ▼

60% يدرسون رياضيات، 40% فيزياء، 25% كليهما. إذا كان الطالب يدرس رياضيات — ما احتمال أن يدرس فيزياء أيضًا؟

P(M)0.60

P(M ∩ F)0.25

القانون

P(F|M) = \frac{0.25}{0.60} = \frac{5}{12}

P \approx 41.7\%

٧ مثال ٤ — النرد المتتالي ▼

نرد مرتان. ما احتمال أن يكون المجموع 8 علمًا بأن النرد الأول أكبر من 3؟

P(A) — النرد الأول > 3

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

P(A ∩ B) — مجموع 8 والأول > 3

(4,4)، (5,3)، (6,2) — ثلاث حالات من 36

P(A\cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

القانون

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{12}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{6}

P = \frac{1}{6} \approx 16.7\%

٨ مثال ٥ — المرض والفحص (بايز) ▼

مرض نادر: 1% من السكان. دقة الفحص 95% للمريض، 10% إيجابية كاذبة للسليم. فحص إيجابي — ما احتمال أن يكون مريضًا فعلًا؟

P(D)0.01

P(T+|D)0.95

P(T+|Dᶜ)0.10

P(T+) الكلي

P(T+) = 0.95\times0.01 + 0.10\times0.99

= 0.0095 + 0.099 = 0.1085

بايز

P(D|T+) = \frac{0.95\times0.01}{0.1085} = \frac{0.0095}{0.1085}

P \approx 8.8\%

رغم دقة الفحص، الاحتمال منخفض بسبب ندرة المرض

٩ مثال ٦ — خطوط الإنتاج (بايز) ▼

3 خطوط إنتاج: L1=50%، L2=30%، L3=20%. نسب العيب: 2%، 3%، 5%. وجد منتج معيب — ما احتمال أن يكون من L2؟

P(D) الكلي

P(D) = 0.02\times0.5 + 0.03\times0.3 + 0.05\times0.2

= 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029

بايز للخط الثاني

P(L_2|D) = \frac{0.03\times0.3}{0.029} = \frac{0.009}{0.029}

P \approx 31.0\%

الاحتمال المشروط

في هذا الدرس سنتعرف على **الاحتمال المشروط**، وهو احتمال وقوع حدث معين بعد أن نعلم أن حدثًا آخر قد وقع بالفعل.

### القانون

احتمال حدوث **B** إذا علمنا أن **A** قد وقع:

\[ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]

حيث:

- \(P(B|A)\): احتمال حدوث **B** بشرط حدوث **A**. - \(P(A\cap B)\): احتمال وقوع الحدثين معًا. - \(P(A)\): احتمال الحدث المعلوم **A**.

> الحدث المعلوم دائمًا هو **A**، والحدث المطلوب إيجاد احتماله هو **B**.

### متى نستخدم الاحتمال المشروط؟

نستخدمه عندما يكون هناك **حدثان مرتبطان**، بحيث يؤثر وقوع الحدث الأول في احتمال وقوع الحدث الثاني، وغالبًا يؤدي ذلك إلى تغيير (وأحيانًا زيادة) الاحتمال.

مثال

لدينا وعاء يحتوي على أربع كرات:

- كرة صفراء صغيرة. - كرة خضراء صغيرة. - كرة حمراء كبيرة. - كرة زرقاء كبيرة.

### أولًا: احتمال غير مشروط

ما احتمال سحب الكرة الزرقاء؟

لدينا كرة زرقاء واحدة من أصل أربع كرات.

\[ P(\text{زرقاء})=\frac{1}{4} \]

### ثانيًا: احتمال مشروط

ما احتمال سحب الكرة الزرقاء **إذا علمنا أن الكرة كبيرة**؟

بعد معرفة أن الكرة كبيرة، يصبح فضاء العينة فقط الكرتين الكبيرتين:

- حمراء كبيرة. - زرقاء كبيرة.

إذن مباشرة:

\[ P(\text{زرقاء | كبيرة})=\frac{1}{2} \]

### الحل باستخدام القانون

أولًا نحسب احتمال تقاطع الحدثين:

- أن تكون الكرة **كبيرة وزرقاء**.

وهذا يساوي:

\[ P(\text{كبيرة} \cap \text{زرقاء})=\frac{1}{4} \]

ثم نحسب احتمال أن تكون الكرة كبيرة:

لدينا كرتان كبيرتان من أصل أربع.

\[ P(\text{كبيرة})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

نعوض في القانون:

\[ P(\text{زرقاء | كبيرة}) = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac12 \]

إذن:

**احتمال سحب الكرة الزرقاء إذا علمنا أن الكرة كبيرة يساوي نصف (1/2).**

خلاصة

- الاحتمال المشروط يستخدم عندما نعرف أن حدثًا معينًا قد وقع. - قانونه:

\[ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]

- معرفة الحدث **A** تغيّر فضاء العينة، ولذلك قد تختلف قيمة الاحتمال عن الاحتمال العادي.

ثالث ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

شرح درس الاحتمال المشروط في ثاني ثانوي، الفصل الثاني، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الاحتمال المشروط من زاوية مختلفة

الثانوية

الاحتمال المشروط (Conditional Probability)

الثانوية

كيف نفهم الاحتمال المشروط و الاحتمال غير المشروط

الثانوية

الاحتمال البسيط مقابل احتمال ذات الحدين

الثانوية

الاحتمال الهندسي

الثانوية