تحليل إضافي للاحتمال المشروط

في هذا الدرس سنأخذ تحليلًا إضافيًا لقاعدة **الاحتمال المشروط** حتى نفهمها بصورة أعمق ونتعود على استخدامها.

مراجعة القانون

نتذكر أن قانون الاحتمال المشروط هو:

\[ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \]

ونلاحظ أن **احتمال الحدث المعلوم \(A\)** يقع في المقام.

ماذا نستنتج من القانون؟

نعرف أن جميع الاحتمالات تقع بين:

0 و1

لذلك كلما **صغر المقام** زادت قيمة الكسر، وكلما **كبر المقام** قلت قيمة الكسر.

وهذا يعني أن الحدث المعلوم إذا كان قليل الاحتمال، فإن الاحتمال المشروط غالبًا يكون أكبر، والعكس صحيح.

مثال

لنرجع إلى المثال السابق.

لدينا وعاء يحتوي على أربع كرات:

- كرتان صغيرتان. - كرتان كبيرتان.

وإحدى الكرتين الكبيرتين لونها أزرق.

الحدثان

الحدث المعلوم \(A\):

أن تكون الكرة **كبيرة**.

الحدث المطلوب \(B\):

أن تكون الكرة **زرقاء**.

إذن المطلوب هو:

ما احتمال سحب كرة زرقاء إذا علمنا أن الكرة كبيرة؟

الحالة الأولى

لدينا كرتان كبيرتان من أصل أربع.

إذن:

\[ P(A)=\frac{2}{4}=\frac12 \]

فنلاحظ أن احتمال كون الكرة زرقاء أصبح:

\[ \frac12 \]

لأننا حصرنا الاختيار في الكرتين الكبيرتين فقط.

الحالة الثانية

لنفترض أنه لم يعد لدينا إلا **كرة كبيرة واحدة فقط**، وكانت هي الكرة الزرقاء.

عندها:

\[ P(A)=\frac14 \]

كما أن:

\[ P(A\cap B)=\frac14 \]

وبالتالي:

\[ P(B|A) = \frac{\frac14}{\frac14} = 1 \]

أي أن معرفة أن الكرة كبيرة تجعلنا متأكدين بنسبة **100%** أنها الكرة الزرقاء.

الحالة الثالثة

لو زاد عدد الكرات الكبيرة إلى ثلاث كرات، فإن احتمال الحدث المعلوم \(A\) يصبح أكبر.

أي أن المقام يكبر، وبالتالي تقل قيمة الاحتمال المشروط.

فكلما أصبح الحدث المعلوم أسهل حدوثًا، انخفض تأثيره في تحديد الحدث المطلوب.

الخلاصة

- الاحتمال المشروط يعتمد على الحدث المعلوم. - إذا قل احتمال الحدث المعلوم، صغر المقام، فزاد الاحتمال المشروط. - إذا زاد احتمال الحدث المعلوم، كبر المقام، فانخفض الاحتمال المشروط. - فهم المقام في قانون الاحتمال المشروط يساعد على تفسير النتيجة حتى قبل إجراء الحسابات.