الاحتمال المشروط (Conditional Probability)

الاحتمال المشروط — مثال النرد

١ قاعدة الاحتمال المشروط

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

البسط = حدوثهما معًا — المقام = احتمال الشرط

الخطوة ١ حدد الحدث A (الشرط) والحدث B (المطلوب)

الخطوة ٢ احسب P(A ∩ B) — احتمال حدوثهما معًا في البسط

الخطوة ٣ احسب P(A) — احتمال الشرط في المقام

الخطوة ٤ اقسم البسط على المقام

٢ المثال — رمي نرد

نرد ذو 6 أوجه — فضاء العينة: {1، 2، 3، 4، 5، 6}

P(3) — بدون شرط

\frac{1}{6}

P(فردي) — بدون شرط

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

A = العدد فردي، B = العدد 3

٣ تطبيق القاعدة — ما احتمال 3 إذا علمنا أن العدد فردي؟ ▼

الشرط "العدد فردي" يحصر فضاء العينة من 6 نتائج إلى 3 فقط: {1، 3، 5}

البسط — P(A ∩ B)

P(3 \cap \text{فردي}) = \frac{1}{6}

3 هو فردي — إذا ظهر 3 يتحقق كلا الحدثين

المقام — P(A)

P(\text{فردي}) = \frac{1}{2}

القاعدة

P(B|A) = \frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{3}

P(B|A) = \frac{1}{3}

الاحتمال ارتفع من 1/6 إلى 1/3 — الشرط حصر فضاء العينة من 6 إلى 3

٤ الخلاصة

الحالة	فضاء العينة	الاحتمال
P(3) بدون شرط	{1, 2, 3, 4, 5, 6}	$\frac{1}{6}$
P(3 \| فردي)	{1, 3, 5}	$\frac{1}{3}$

P(A ∩ B)

احتمال حدوثهما معًا — البسط

P(A)

احتمال الشرط — المقام

التأثير

حصر فضاء العينة يغير الاحتمال

ما هو الاحتمال المشروط؟

عند قراءة مسائل الاحتمالات، يجب الانتباه إلى كل كلمة في السؤال، لأن أي جملة إضافية قد تزيد الاحتمال أو تنقصه أو تغيره بالكامل.

ولهذا تشبه مسائل الاحتمالات العقود، إذ يجب التدقيق في جميع تفاصيلها.

مثال على الاحتمال العادي

لنفترض أن لدينا أربع سيارات، منها:

- سيارتان من **تويوتا**. - سيارتان من **فورد**.

ووضعنا أسماء السيارات الأربع في أربع أوراق، ثم سحب شخص ورقة واحدة عشوائياً.

إذا كان السؤال:

**ما احتمال الحصول على سيارة تويوتا؟**

فإن عدد سيارات تويوتا هو 2 من أصل 4 سيارات، وبالتالي:

**احتمال تويوتا = 2/4 = 1/2 = 50%**

وبالمثل:

**احتمال فورد = 2/4 = 1/2 = 50%**

وهذا يسمى **احتمالاً عادياً** لأنه لا توجد أي معلومات إضافية.

زيادة تفاصيل المسألة

لنفترض الآن أن السيارات أصبحت كالتالي:

- تويوتا صغيرة. - تويوتا كبيرة. - فورد صغيرة. - فورد كبيرة.

إذا سألنا:

**ما احتمال الحصول على تويوتا صغيرة؟**

فإن لدينا سيارة واحدة فقط تحقق هذا الشرط من أصل أربع سيارات، لذلك:

**الاحتمال = 1/4**

وينطبق الأمر نفسه على:

- تويوتا كبيرة. - فورد صغيرة. - فورد كبيرة.

فكل واحدة منها تمثل احتمالاً مقداره:

**1/4**

ولا يزال هذا احتمالاً عادياً.

متى يصبح الاحتمال مشروطاً؟

يصبح الاحتمال **مشروطاً** عندما نضيف معلومة جديدة تقيد فضاء العينة.

فإذا كان السؤال:

**ما احتمال الحصول على تويوتا صغيرة، علماً بأن السيارة المسحوبة من نوع تويوتا؟**

فهنا أصبحت سيارات فورد مستبعدة تماماً.

وأصبح فضاء العينة يقتصر على:

- تويوتا صغيرة. - تويوتا كبيرة.

أي أن عدد الاحتمالات أصبح اثنين فقط.

وبما أن تويوتا الصغيرة واحدة منهما، فإن:

**الاحتمال = 1/2**

مثال آخر

إذا كان السؤال:

**ما احتمال الحصول على تويوتا كبيرة، علماً بأن السيارة المختارة من نوع فورد؟**

فهنا المعلومة الإضافية تؤكد أن السيارة المختارة هي فورد.

وبالتالي يستحيل أن تكون تويوتا.

إذن:

**الاحتمال = 0**

فكرة الاحتمال المشروط

الاحتمال المشروط يعني أن نضيف معلومة جديدة تغير فضاء العينة الذي نحسب منه الاحتمال.

فقد تؤدي هذه المعلومة إلى:

- زيادة الاحتمال. - تقليل الاحتمال. - أو إلغاء الاحتمال تماماً إذا أصبح الحدث مستحيلاً.

الخلاصة

الاحتمال المشروط هو احتمال وقوع حدث بعد معرفة معلومة إضافية تؤثر في فضاء العينة.

ولهذا يجب قراءة أسئلة الاحتمالات بعناية، لأن أي جملة إضافية مثل **"علماً بأن"** قد تغير قيمة الاحتمال بالكامل.

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

ما هو الاحتمال المشروط؟ عند قراءة مسائل الاحتمالات، يجب الانتباه إلى كل كلمة في السؤال، لأن أي جملة إضافية قد تزيد الاحتمال أو تنقصه أو تغيره بالكامل.… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.