معنى الرقم التخيلي i و فائدته
اختبار: الأعداد التخيلية - فهم الجذر التربيعي للأعداد السالبة
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **الأعداد التخيلية**، وهي ليست أعدادًا خيالية كما قد يوحي اسمها، بل هي جزء مهم من الرياضيات ولها تطبيقات كثيرة في الهندسة والفيزياء والإلكترونيات.
ذكرنا في دروس سابقة أن بعض العلماء لم يكونوا يفضلون تسميتها بالأعداد التخيلية، بل اقترح أحدهم تسميتها **الأعداد الجانبية** (Lateral Numbers)، وسنحاول فهم سبب هذه التسمية.
لنبدأ بخط الأعداد الحقيقي الذي نعرفه جميعًا، حيث يقع الصفر في المنتصف، والأعداد الموجبة على اليمين، والأعداد السالبة على اليسار. ويشمل هذا الخط جميع الأعداد الحقيقية مثل الأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والأعداد غير النسبية.
لنبسط الفكرة، سنركز على العددين **1** و**-1**.
- إذا ضربنا:
**1 × 1 = 1**
فإن الناتج يبقى في نفس المكان.
- وإذا ضربنا:
**(-1) × (-1) = 1**
فإن الناتج ينتقل من الجهة السالبة إلى الجهة الموجبة.
كذلك إذا ضربنا عددًا موجبًا في **-1** فإنه ينتقل إلى الجهة المقابلة على خط الأعداد، وكأن الضرب في **-1** يمثل دورانًا مقداره **180 درجة**.
من هنا جاءت الفكرة الهندسية للأعداد التخيلية. فإذا اعتبرنا أن الضرب في **-1** يعني دورانًا بمقدار **180°**، فماذا لو أردنا دورانًا بمقدار **90°** فقط؟
لهذا عُرِّف العدد التخيلي **i** بحيث يحقق العلاقة:
**i² = -1**
أي أن:
**i × i = -1**
لذلك يمكننا تصور الضرب في **i** على أنه دوران بمقدار **90 درجة**.
- الضرب في **i** مرة واحدة → دوران 90°. - الضرب في **i** مرة ثانية → دوران آخر 90°، فيصبح المجموع 180°، ولذلك:
**i² = -1**
وبالمثل، فإن الضرب في **-i** يمثل دورانًا في الاتجاه المعاكس بمقدار 90°.
إذا رسمنا نظام الإحداثيات، فإن:
- المحور الأفقي (X) يمثل **الأعداد الحقيقية**. - والمحور العمودي (Y) يمثل **الأعداد التخيلية**، مثل:
**i ، 2i ، 10i ، 100i ، 1000i**
أما النقاط الواقعة داخل الأرباع الأربعة، فهي تمثل **الأعداد المركبة**، لأنها تحتوي على جزء حقيقي وجزء تخيلي، وتكتب بالشكل:
**a + bi**
حيث:
- **a** عدد حقيقي. - **b i** هو الجزء التخيلي.
الخلاصة
- الأعداد التخيلية ليست خيالية، بل هي جزء من نظام الأعداد. - الرمز **i** يُعرَّف بحيث:
**i² = -1**
- يمكن فهم الضرب في **i** على أنه دوران بمقدار 90° في المستوى الإحداثي. - المحور الأفقي يمثل الأعداد الحقيقية، والمحور العمودي يمثل الأعداد التخيلية. - أي عدد يحتوي على جزء حقيقي وجزء تخيلي يسمى **عددًا مركبًا**، ويكتب على الصورة:
**a + bi**
لذلك، لفهم الأعداد التخيلية بصورة صحيحة، لا يكفي النظر إلى خط الأعداد فقط، بل يجب النظر إلى **المستوى الإحداثي ثنائي الأبعاد** الذي يجمع بين المحور الحقيقي والمحور التخيلي.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على الأعداد التخيلية، وهي ليست أعدادًا خيالية كما قد يوحي اسمها، بل هي جزء مهم من الرياضيات ولها تطبيقات كثيرة في الهندسة والفيزياء… هذا الدرس ضمن الرقم التخيلي i لمنهج مفاهيم متنوعة أرقام مميزة في أكاديمية موسى.